题目

设总体X的密度函数为f(x,theta)=}1/theta, & 0<theta,0, & 其它,从总体X中抽取容量为6的样本，其样本值为1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,则theta的矩估计值为____（写成小数形式，小数点后保留一位）

设总体X的密度函数为 $f(x,\theta)=\begin{cases}1/\theta, & 0<\theta,\\0, & 其它\end{cases}$,从总体X中抽取容量为6的样本，其样本值为1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,则$\theta$的矩估计值为____ （写成小数形式，小数点后保留一位）

题目解答

答案

为了找到$\theta$的矩估计值，我们首先需要确定总体的矩，然后使用样本矩来估计总体矩。对于给定的密度函数$f(x, \theta) = \frac{1}{\theta}$对于$0 < x < \theta$，总体的期望值（第一矩）为： \[ E(X) = \int_0^\theta x \cdot \frac{1}{\theta} \, dx = \frac{1}{\theta} \int_0^\theta x \, dx = \frac{1}{\theta} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^\theta = \frac{1}{\theta} \cdot \frac{\theta^2}{2} = \frac{\theta}{2} \] 矩估计方法涉及将总体的期望值设置为等于样本的平均值。设$\bar{X}$为样本平均值。那么，我们有： \[ E(X) = \bar{X} \implies \frac{\theta}{2} = \bar{X} \implies \theta = 2\bar{X} \] 接下来，我们计算样本平均值$\bar{X}$。样本值为1.3, 0.6, 1.7, 2.2, 0.3, 和 1.1。样本平均值为： \[ \bar{X} = \frac{1.3 + 0.6 + 1.7 + 2.2 + 0.3 + 1.1}{6} = \frac{7.2}{6} = 1.2 \] 现在，我们将样本平均值代入$\theta$的矩估计公式中： \[ \theta = 2 \cdot 1.2 = 2.4 \] 然而，我们需要检查$\theta$的估计值是否与样本值一致。由于密度函数$f(x, \theta)$在$0 < x < \theta$时非零，$\theta$的估计值必须大于样本中的最大值。样本中的最大值为2.2。由于2.4大于2.2，$\theta$的矩估计值是有效的。 因此，$\theta$的矩估计值为： \[ \boxed{2.4} \]

解析

本题考查矩估计的知识点。解题思路是先根据总体的概率密度函数求出总体的一阶矩（即期望值），然后令总体的一阶矩等于样本的一阶矩（即样本均值），从而得到参数 $\theta$ 的矩估计量，最后将样本值代入矩估计量中计算出 $\theta$ 的矩估计值。

步骤一：计算总体的期望值 $E(X)$

已知总体 $X$ 的密度函数为 $f(x,\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}, & 0 $\begin{align*}E(X)&=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,\theta)dx\\&=\int_{0}^{\theta}x\cdot\frac{1}{\theta}dx\\&=\frac{1}{\theta}\int_{0}^{\theta}xdx\\&=\frac{1}{\theta}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\theta}\\&=\frac{1}{\theta}\cdot\frac{\theta^2}{2}\\&=\frac{\theta}{2}\end{align*}$

步骤二：得到 $\theta$ 的矩估计量

令总体的期望值 $E(X)$ 等于样本均值 $\overline{X}$，即 $E(X)=\overline{X}$，则有：
$\frac{\theta}{2}=\overline{X}$
解上述方程可得 $\theta$ 的矩估计量为：
$\hat{\theta}=2\overline{X}$

步骤三：计算样本均值 $\overline{X}$

已知样本值为 $1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1$，样本容量 $n = 6$，根据样本均值的定义，样本均值 $\overline{X}$ 为：
$\begin{align*}\overline{X}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\\&=\frac{1.3 + 0.6 + 1.7 + 2.2 + 0.3 + 1.1}{6}\\&=\frac{7.2}{6}\\&= 1.2\end{align*}$

步骤四：计算 $\theta$ 的矩估计值

将样本均值 $\overline{X}=1.2$ 代入 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}=2\overline{X}$ 中，可得：
$\hat{\theta}=2\times1.2 = 2.4$
同时，由于密度函数 $f(x, \theta)$ 在 $0 < x < \theta$ 时非零，$\theta$ 的估计值必须大于样本中的最大值。样本中的最大值为 $2.2$，$2.4>2.2$，所以 $\theta$ 的矩估计值是有效的。