题目
5.2. 某单位设置一台电话总机，共有200架分机，设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的，设每时刻每个分机有 5%的概率要使用外线通话，问总机需要多少外线才能以不低于 90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?
5.2. 某单位设置一台电话总机，共有200架分机，设每个电话分机是否使用外
线通话是相互独立的，设每时刻每个分机有 5%的概率要使用外线通话，问
总机需要多少外线才能以不低于 90%的概率保证每个分机要使用外线时可
供使用?
题目解答
答案
设 $X$ 为使用外线的分机数，$X \sim b(200, 0.05)$。期望 $E(X) = 10$，方差 $D(X) = 9.5$。
近似为正态分布 $N(10, 9.5)$，需满足
\[
P\left( \frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \le \frac{N - 10}{\sqrt{9.5}} \right) \ge 0.90.
\]
由 $\Phi(1.28) \approx 0.90$，得
\[
\frac{N - 10}{\sqrt{9.5}} \ge 1.28 \Rightarrow N \ge 10 + 1.28 \times \sqrt{9.5} \approx 13.945.
\]
取整数 $N = 14$。
**答案：** $\boxed{14}$
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $X$ 为使用外线的分机数，$X$ 服从二项分布 $b(200, 0.05)$，即 $X \sim b(200, 0.05)$。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望 $E(X) = np = 200 \times 0.05 = 10$，方差 $D(X) = np(1-p) = 200 \times 0.05 \times 0.95 = 9.5$。
步骤 3：近似为正态分布
由于 $n$ 较大，$p$ 较小，可以将二项分布近似为正态分布 $N(10, 9.5)$。
步骤 4：计算概率
需要满足 $P\left( \frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \le \frac{N - 10}{\sqrt{9.5}} \right) \ge 0.90$，其中 $N$ 为外线数量。根据标准正态分布表，$\Phi(1.28) \approx 0.90$，因此有 $\frac{N - 10}{\sqrt{9.5}} \ge 1.28$。
步骤 5：求解 $N$
解不等式 $\frac{N - 10}{\sqrt{9.5}} \ge 1.28$，得 $N \ge 10 + 1.28 \times \sqrt{9.5} \approx 13.945$。取整数 $N = 14$。
设 $X$ 为使用外线的分机数，$X$ 服从二项分布 $b(200, 0.05)$，即 $X \sim b(200, 0.05)$。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望 $E(X) = np = 200 \times 0.05 = 10$，方差 $D(X) = np(1-p) = 200 \times 0.05 \times 0.95 = 9.5$。
步骤 3：近似为正态分布
由于 $n$ 较大，$p$ 较小，可以将二项分布近似为正态分布 $N(10, 9.5)$。
步骤 4：计算概率
需要满足 $P\left( \frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \le \frac{N - 10}{\sqrt{9.5}} \right) \ge 0.90$，其中 $N$ 为外线数量。根据标准正态分布表，$\Phi(1.28) \approx 0.90$，因此有 $\frac{N - 10}{\sqrt{9.5}} \ge 1.28$。
步骤 5：求解 $N$
解不等式 $\frac{N - 10}{\sqrt{9.5}} \ge 1.28$，得 $N \ge 10 + 1.28 \times \sqrt{9.5} \approx 13.945$。取整数 $N = 14$。