题目
设总体 X 的密度函数为 f(x)= } 0, & others (1)/(theta) e^-(x)/(theta), & x > 0, theta > 0 D. (1)/(theta)
设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x)= \begin{cases} 0, & others \\ \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & x > 0, \theta > 0 \end{cases}$，其中 $\theta$ 未知，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是一组样本观测值，则参数 $\theta$ 的极大似然估计值为()
A. $\frac{1}{x}$
B. $\theta$
C. $\overline{x}$
D. $\frac{1}{\theta}$
题目解答
答案
C. $\overline{x}$
解析
步骤 1：写出似然函数
似然函数是基于样本观测值 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的联合概率密度函数，对于给定的参数 $\theta$，似然函数为： $$ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_i}{\theta}} = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i}. $$
步骤 2：取对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数： $$ \ln L(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i. $$
步骤 3：求导并令其为零
为了找到使对数似然函数最大化的 $\theta$ 值，我们对 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于零： $$ \frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i = 0. $$
步骤 4：解方程求 $\theta$
解上述方程，得到 $\theta$ 的极大似然估计值： $$ \theta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \overline{x}. $$
似然函数是基于样本观测值 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的联合概率密度函数，对于给定的参数 $\theta$，似然函数为： $$ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_i}{\theta}} = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i}. $$
步骤 2：取对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数： $$ \ln L(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i. $$
步骤 3：求导并令其为零
为了找到使对数似然函数最大化的 $\theta$ 值，我们对 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于零： $$ \frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i = 0. $$
步骤 4：解方程求 $\theta$
解上述方程，得到 $\theta$ 的极大似然估计值： $$ \theta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \overline{x}. $$