题目
17. (5.0分) 设hat(theta)_(1)和hat(theta)_(2)都是参数theta的无偏估计量，试适当选择常数a>0，使 (ahat(theta)_(1)+2ahat(theta)_(2))成为theta的无偏估计。 （答案填写分数形式，直接键盘输入即可，如1/2） 第1空
17. (5.0分)
设$\hat{\theta}_{1}$和$\hat{\theta}_{2}$都是参数$\theta$的无偏估计量，试适当选择常数a>0，使
$(a\hat{\theta}_{1}+2a\hat{\theta}_{2})$成为$\theta$的无偏估计。
（答案填写分数形式，直接键盘输入即可，如1/2）
第1空
题目解答
答案
已知 $\hat{\theta}_1$ 和 $\hat{\theta}_2$ 是 $\theta$ 的无偏估计，即 $E(\hat{\theta}_1) = E(\hat{\theta}_2) = \theta$。
计算期望：
\[
E(a\hat{\theta}_1 + 2a\hat{\theta}_2) = aE(\hat{\theta}_1) + 2aE(\hat{\theta}_2) = a\theta + 2a\theta = 3a\theta
\]
令其等于 $\theta$：
\[
3a\theta = \theta \quad \Rightarrow \quad 3a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{3}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{1}{3}}$
解析
考查要点：本题主要考查无偏估计量的性质及线性组合的期望计算。
解题核心思路：利用无偏估计的定义，即估计量的期望等于参数本身，通过计算线性组合的期望并令其等于参数，解出未知常数。
关键点：
- 无偏估计的定义：$E(\hat{\theta}_1) = E(\hat{\theta}_2) = \theta$。
- 线性性质：线性组合的期望等于各部分期望的线性组合。
- 方程求解：通过等式$E(a\hat{\theta}_1 + 2a\hat{\theta}_2) = \theta$解出$a$。
-
计算线性组合的期望：
根据期望的线性性质，
$E(a\hat{\theta}_1 + 2a\hat{\theta}_2) = aE(\hat{\theta}_1) + 2aE(\hat{\theta}_2).$
由于$\hat{\theta}_1$和$\hat{\theta}_2$是无偏估计，$E(\hat{\theta}_1) = E(\hat{\theta}_2) = \theta$，代入得：
$a\theta + 2a\theta = 3a\theta.$ -
令期望等于参数：
要求$a\hat{\theta}_1 + 2a\hat{\theta}_2$是无偏估计，需满足：
$3a\theta = \theta.$ -
解方程求$a$：
两边同时除以$\theta$（假设$\theta \neq 0$），得：
$3a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{3}.$