题目

设y=arctan[f(x)]，则(dy)/(dx)=（ ）。A. (1)/(1+f^2)(x)B. (x)/(1+f^2)(x)C. (f^prime(x))/(1+f^2)(x)D. (2f^prime(x))/(1+f^2)(x)

设$y=\arctan[f(x)]$，则$\frac{dy}{dx}=$（ ）。

A. $\frac{1}{1+f^{2}(x)}$

B. $\frac{x}{1+f^{2}(x)}$

C. $\frac{f^{\prime}(x)}{1+f^{2}(x)}$

D. $\frac{2f^{\prime}(x)}{1+f^{2}(x)}$

题目解答

答案

C. $\frac{f^{\prime}(x)}{1+f^{2}(x)}$

解析

本题考查复合函数求导的知识。解题思路是先明确函数$y=\arctan[f(x)]$是由$y = \arctan u$与$u = f(x)$复合而成，然后根据复合函数求导法则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$进行求导。

  1. 首先求$\frac{dy}{du}$：
    • 已知$y = \arctan u$，根据求导公式$(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^2}$，可得$\frac{dy}{du}=\frac{1}{1 + u^2}$。
  2. 接着求$\frac{du}{dx}$：
    • 因为$u = f(x)$，所以$\frac{du}{dx}=f^\prime(x)$。
  3. 最后根据复合函数求导法则求$\frac{dy}{dx}$：
    • 由$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，将$\frac{dy}{du}=\frac{1}{1 + u^2}$和$\frac{du}{dx}=f^\prime(x)$代入可得：
      • $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1 + u^2}\cdot f^\prime(x)$。
    • 再把$u = f(x)$代回上式，得到$\frac{dy}{dx}=\frac{f^\prime(x)}{1 + f^{2}(x)}$。