题目
[题目]设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布-|||-(0,-1,1,4,0), 则下列结论中不正确的是 ()A.[题目]设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布-|||-(0,-1,1,4,0), 则下列结论中不正确的是 ()B.[题目]设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布-|||-(0,-1,1,4,0), 则下列结论中不正确的是 ()C.[题目]设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布-|||-(0,-1,1,4,0), 则下列结论中不正确的是 ()D.[题目]设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布-|||-(0,-1,1,4,0), 则下列结论中不正确的是 ()
- A.
- B.
- C.
- D.
题目解答
答案
解析
本题主要考查二维正态分布的性质，包括随机变量的独立性、线性组合的分布以及正态分布在数学期望两侧取值的概率。解题思路如下：
- 判断$X$与$Y$的独立性：
- 已知二维随机变量$(X,Y)$服从二维正态分布$N(0,-1,1,4,0)$，根据二维正态分布的参数含义，可知$X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(-1,4)$，且相关系数$\rho_{XY}=0$。
- 在正态分布中，不相关与独立是等价的，因为$\rho_{XY}=0$表示$X$与$Y$不相关，所以$X$与$Y$相互独立，故选项A正确。
- 判断$aX + bY$的分布：
- 根据正态分布的性质，正态分布的线性组合依然服从正态分布。
- 由于$(X,Y)$服从二维正态分布，所以$aX + bY$服从正态分布，故选项B正确。
- 计算$P\{X - Y \lt 1\}$和$P\{X + Y \lt 1\}$：
- 首先计算$E(X - Y)$和$E(X + Y)$：
- 已知$E(X)=0$，$E(Y)= -1$，根据期望的性质$E(X - Y)=E(X) - E(Y)$，可得$E(X - Y)=0 - (-1)=1$。
- 同理，$E(X + Y)=E(X) + E(Y)=0 + (-1)= -1$。
- 由正态分布的性质知，正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率为$\frac{1}{2}$。
- 对于$X - Y$，其数学期望为$1$，所以$P\{X - Y \lt 1\}=\frac{1}{2}$，故选项C正确。
- 对于$X + Y$，其数学期望为$-1$，所以$P\{X + Y \lt -1\}=\frac{1}{2}$，而不是$P\{X + Y \lt 1\}=\frac{1}{2}$，故选项D错误。
- 首先计算$E(X - Y)$和$E(X + Y)$：