题目
设总体X服从均匀分布，即，其中a为未知参数，已知是取自总体X的样本.（1）求参数a的矩估计量；（2）若已知样本均值为，求a的矩估计值.
设总体X服从均匀分布，即
，其中a为未知参数，已知
是取自总体X的样本.（1）求参数a的矩估计量；
（2）若已知样本均值为
，求a的矩估计值.
题目解答
答案
（1）表示X服从区间
上的均匀分布，则X的数学期望为
，样本均值为
，令
，则参数a的矩估计量为
；（2）样本均值为，则a的矩估计值为
.
解析
步骤 1：求解总体X的数学期望
由于$X\sim U(a,4)$，即X服从区间(a,4)上的均匀分布，根据均匀分布的数学期望公式，我们有$E(X)=\dfrac {a+4}{2}$。
步骤 2：求解参数a的矩估计量
样本均值$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$是总体均值$E(X)$的无偏估计量。因此，我们令$E(X)=\overline {X}$，即$\dfrac {a+4}{2}=\overline {X}$，解得$a=2\overline {X}-4$。所以，参数a的矩估计量为$\hat {a}=2\overline {X}-4$。
步骤 3：求解参数a的矩估计值
已知样本均值为$x=3$，将$x=3$代入步骤2中得到的矩估计量公式$\hat {a}=2\overline {X}-4$，得到$a=2\times 3-4=2$。因此，a的矩估计值为2。
由于$X\sim U(a,4)$，即X服从区间(a,4)上的均匀分布，根据均匀分布的数学期望公式，我们有$E(X)=\dfrac {a+4}{2}$。
步骤 2：求解参数a的矩估计量
样本均值$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$是总体均值$E(X)$的无偏估计量。因此，我们令$E(X)=\overline {X}$，即$\dfrac {a+4}{2}=\overline {X}$，解得$a=2\overline {X}-4$。所以，参数a的矩估计量为$\hat {a}=2\overline {X}-4$。
步骤 3：求解参数a的矩估计值
已知样本均值为$x=3$，将$x=3$代入步骤2中得到的矩估计量公式$\hat {a}=2\overline {X}-4$，得到$a=2\times 3-4=2$。因此，a的矩估计值为2。