简述自相关函数的主要性质。

自相关函数是分析信号统计特性的重要工具，主要描述信号在不同时刻取值之间的相关性。本题要求掌握其核心性质，需理解以下关键点：

1. 偶函数特性：自相关函数关于时间差对称；
2. 最大值位置：在时间差为0时达到最大值，对应信号的均方值；
3. 直流分量影响：若信号含直流分量，自相关函数会保留该分量；
4. 极限特性：无周期成分且均值为零时，自相关函数在无穷远处趋于零；
5. 周期分量保留：信号中的周期成分会在自相关函数中以相同频率呈现。

（1）自相关函数是偶函数

自相关函数定义为：
$R_x(\tau) = E\left[ x(t)x(t+\tau) \right]$
将$\tau$替换为$-\tau$，得：
$R_x(-\tau) = E\left[ x(t)x(t-\tau) \right] = R_x(\tau)$
因此，自相关函数关于$\tau$对称，是偶函数。

（2）$\tau=0$时值最大，等于均方值

当$\tau=0$时：
$R_x(0) = E\left[ x(t)^2 \right] = \text{均方值}$
均方值是信号能量的度量，因此此时自相关函数取得最大值。

（3）直流分量的影响

若信号含直流分量$u_x$，可分解为：
$x(t) = u_x + y(t)$
其中$y(t)$为零均值分量。计算自相关函数时，直流分量$u_x^2$会保留，导致：
$R_x(0) = u_x^2 + \text{交流分量均方值}$

（4）无周期成分时的极限特性

对零均值且无周期成分的随机信号，当$\tau \to \infty$时，不同时刻的取值趋于不相关，故：
$\lim_{\tau \to \infty} R_x(\tau) = 0$
此性质反映信号的“短程相关性”。

（5）周期分量的保留

若信号含周期分量（如正弦波），其自相关函数中将出现相同频率的周期项。例如，正弦信号$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$的自相关函数为：
$R_x(\tau) = \frac{A^2}{2} \cos(\omega \tau)$
周期分量频率在自相关函数中被保留。