设X_1,X_2是来自正态总体N(mu,1)的样本，则对统计量hat(mu)_1=(2)/(3)X_1+(1)/(3)X_2，hat(mu)_2=(1)/(4)X_1+(3)/(4)X_2，hat(mu)_3=(1)/(2)X_1+(1)/(2)X_2，以下结论中错误的是(）。A. hat(mu)_1,hat(mu)_2,hat(mu)_3都是mu的无偏估计量B. hat(mu)_1,hat(mu)_2,hat(mu)_3都是mu的一致估计量C. hat(mu)_3比hat(mu)_1,hat(mu)_2更有效D. (hat(mu)_1+hat(mu)_2)/(2)比hat(mu)_3更有效

题目考察知识

本题主要考察点估计的评价标准：无偏性、一致性、有效性，以及正态总体样本均值的性质。

选项A：无偏性判断

无偏估计量的定义是 $E(\hat{\mu}) = \mu$。
对于任意线性组合 $\hat{\mu} = aX_1 + bX_2$，由于 $E(X_1)=E(X_2)=\mu$，则：
$E(\hat{\mu}) = aE(X_1) + bE(X_2) = (a+b)\mu$
题目中三个统计量的系数和均为1：

• $\hat{\mu}_1: \frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$
• $\hat{\mu}_2: \frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$
• $\hat{\mu}_3: \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
  因此 $E(\hat{\mu}_1)=E(\hat{\mu}_2)=E(\hat{\mu}_3)=\mu$，均为无偏估计量。选项A正确。

选项B：一致性判断

一致性指 $\hat{\mu} \xrightarrow{P} \mu$（依概率收敛）。
根据辛钦大数定律，样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum X_i$ 是 $\mu$ 的一致估计量。
三个统计量均为样本的线性组合，且系数和为1，当样本量 $n=2$ 时，它们都是 $\mu$ 的线性无偏估计，且方差有限（总体方差已知为1），故均满足一致性。选项B正确。

选项C：有效性判断

有效性通过方差比较，方差越小越有效。
总体方差 $\sigma^2=1$，线性组合的方差为：
$D(\hat{\mu}) = a^2D(X_1) + b^2D(X_2) = a^2 + b^2 \quad (\text{因}X_1,X_2\text{独立})$
计算各统计量方差：

• $D(\hat{\mu}_1) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \approx 0.555$
• $D(\hat{\mu}_2) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = 0.625$
• $D(\hat{\mu}_3) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0.5$
  显然 $D(\hat{\mu}_3) < D(\hat{\mu}_1) < D(\hat{\mu}_2)$，故 $\hat{\mu}_3$ 最有效。选项C正确。

选项D：$\frac{\hat{\mu}_1+\hat{\mu}_2}{2}$与$\hat{\mu}_3$的有效性比较

先计算 $\frac{\hat{\mu}_1+\hat{\mu}_2}{2}$ 的表达式：
$\frac{\hat{\mu}_1+\hat{\mu}_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}X_1+\frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{4}X_1+\frac{3}{4}X_2\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{11}{12}X_1 + \frac{13}{12}X_2\right) = \frac{11}{24}X_1 + \frac{13}{24}X_2$
其方差为：
$D\left(\frac{\hat{\mu}_1+\hat{\mu}_2}{2}\right) = \left(\frac{11}{24}\right)^2 + \left(\frac{13}{24}\right)^2 = \frac{121 + 169}{576} = \frac{290}{576} \approx 0.5035$
而 $D(\hat{\mu}_3)=0.5$，显然 $0.5035 > 0.5$，即 $\frac{\hat{\mu}_1+\hat{\mu}_2}{2}$ 的方差大于 $\hat{\mu}_3$，故 选项D错误。