设y = ln(tan (x)/(2))，则(dy)/(dx)等于( ).A. (1)/(tan frac(x){2)}B. (1)/(cot frac(x){2)}C. (1)/(sin x)D. (1)/(cos x)

本题考查复合函数求导的知识。解题思路是先明确函数$y = \ln(\tan \frac{x}{2})$是由多个函数复合而成，然后根据复合函数求导法则，从外层函数到内层函数逐步求导，最后将各层导数相乘得到$\frac{dy}{dx}$。

设$u = \tan \frac{x}{2}$，则$y = \ln u$。

1. 先对$y = \ln u$关于$u$求导：
   根据对数函数求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$。
2. 再对$u = \tan \frac{x}{2}$关于$x$求导：
   设$v=\frac{x}{2}$，则$u = \tan v$。
   • 先对$u = \tan v$关于$v$求导：
     根据正切函数求导公式$(\tan x)^\prime=\sec^2 x$，可得$\frac{du}{dv}=\sec^2 v$。
   • 再对$v=\frac{x}{2}$关于$x$求导：
     根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{dv}{dx}=\frac{1}{2}$。
   • 根据复合函数求导法则$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}$，可得：
     $\frac{du}{dx}=\sec^2 v\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}$。
3. 最后根据复合函数求导法则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，可得：
   $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}$。
   将$u = \tan \frac{x}{2}$代入上式得：
   $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}$。
   因为$\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$，$\sec^2\frac{x}{2}=\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}$，所以：
   $\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\\&=\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}\end{align*}$
   根据二倍角公式$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha\cos \alpha$，这里$\alpha=\frac{x}{2}$，则$2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x$，所以$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sin x}$。