题目

设θ1,θ2,θ3分别是总体分-|||-布中参数θ的无偏估计量, hat (theta )=-|||-alpha (theta )_(1)-(theta )_(2)+3(theta )_(3), 当alpha =0 ()时,θ也-|||-是θ的无偏估计量.

$\begin {aligned} &设 \hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2, \hat{\theta}_3 分别是总体分\\&布中参数 \theta 的无偏估计量, \hat{\theta}=\\&\alpha \hat{\theta}_1-\hat{\theta}_2+3 \hat{\theta}_3, 当 \alpha=() 时, \hat{\theta} 也\\&是 \theta 的无偏估计量. \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &为了证明 \hat{\theta} 是 \theta 的无偏估计量，我\\&们需要满足两个条件： \\ &1. 期望值条件：E(\hat{\theta}) = \theta \\ &2. 当 \alpha 取某个特定值时，\hat{\theta} 也是无\\&偏估计量。 \\ &首先，我们计算 \hat{\theta} 的期望值： \\ &E(\hat{\theta}) = E(\alpha \hat{\theta}_1 - \hat{\theta}_2 + 3\hat{\theta}_3) \\ &= \alpha E(\hat{\theta}_1) - E(\hat{\theta}_2) + 3E(\hat{\theta}_3) \quad \text{(线性性质)} \\ \end {aligned}$ $\begin {aligned} &= \alpha \theta - \theta + 3\theta \\&由于 \hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2, \hat{\theta}_3 都是无偏估计量\\ &= 3\alpha\theta \\ &根据期望值条件 E(\hat{\theta}) = \theta，我们有\\& 3\alpha\theta = \theta，即 3\alpha = 1，解得 \alpha = \frac{1}{3}。 \\ &因此，当 \alpha = \frac{1}{3} 时，\hat{\theta} 是 \theta 的无偏估\\&计量。 \end {aligned}$