3.12 设随机变量X与Y独立，分别服从均匀分布U(0，1)和参数为1的指数分布.求随机变量Z=X+Y的密度函数.

设 $ X $ 服从 $ U(0,1) $，$ Y $ 服从参数为 1 的指数分布，且 $ X $ 与 $ Y $ 独立。求 $ Z = X + Y $ 的密度函数。

解：
由卷积公式，$ Z $ 的密度函数为：
$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx$
其中，$ f_X(x) = 1 $（$ 0 < x < 1 $），$ f_Y(y) = e^{-y} $（$ y > 0 $）。

情况1：$ z \leq 0 $
此时 $ x < z $ 无解，故 $ f_Z(z) = 0 $。

情况2：$ 0 < z < 1 $
积分范围为 $ 0 < x < z $，得：
$f_Z(z) = \int_{0}^{z} e^{-(z-x)} \, dx = 1 - e^{-z}$

情况3：$ z \geq 1 $
积分范围为 $ 0 < x < 1 $，得：
$f_Z(z) = \int_{0}^{1} e^{-(z-x)} \, dx = (e-1)e^{-z}$

结论：
$\boxed{\begin{cases} 0, & z \leq 0, \\ 1 - e^{-z}, & 0 < z < 1, \\ (e-1)e^{-z}, & z \geq 1. \end{cases}}$