4-2 在多元线性回归模型(4.1.3)中(p=1)，试求出参数向量β和σ²的最大似然估计.解：模型(4.1.3)为}Y=Cbeta+varepsilonvarepsilonsim N_(n)(0,sigma^2I_(n))

考查要点：本题要求求解多元线性回归模型中参数向量$\beta$和$\sigma^2$的最大似然估计，主要考查以下知识点：

1. 多元正态分布的似然函数构建；
2. 对数似然函数的求导与极值求解；
3. 矩阵微积分在参数估计中的应用。

解题核心思路：

1. 构建对数似然函数：根据误差项的正态分布假设，写出观测数据的对数似然函数；
2. 对$\beta$求导求极值：通过矩阵微积分求导，解出$\hat{\beta}$；
3. 代入$\hat{\beta}$求$\hat{\sigma}^2$：将$\hat{\beta}$代入对数似然函数，对$\sigma^2$求导求极值。

破题关键点：

• 正确展开二次型表达式：$(Y - C\beta)'(Y - C\beta)$的展开是求导的基础；
• 矩阵导数的规则：掌握$\frac{\partial}{\partial \beta} (Y - C\beta)'(Y - C\beta) = -2C'(Y - C\beta)$；
• 残差平方和的处理：将$\hat{\beta}$代入后，残差平方和$(Y - C\hat{\beta})'(Y - C\hat{\beta})$是标量，简化对$\sigma^2$的求导。

1. 构建对数似然函数

模型中$\varepsilon \sim N_n(0, \sigma^2 I_n)$，因此$Y \sim N_n(C\beta, \sigma^2 I_n)$。对数似然函数为：
$\ln L(\beta, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} (Y - C\beta)'(Y - C\beta)$

2. 对$\beta$求导求极值

对$\beta$求偏导并令导数为零：
$\frac{\partial \ln L}{\partial \beta} = \frac{1}{\sigma^2} C'(Y - C\beta) = 0 \implies C'C\beta = C'Y \implies \hat{\beta} = (C'C)^{-1}C'Y$

3. 代入$\hat{\beta}$求$\hat{\sigma}^2$

将$\hat{\beta}$代入对数似然函数，对$\sigma^2$求导并令导数为零：
$\frac{\partial \ln L}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^4} (Y - C\hat{\beta})'(Y - C\hat{\beta}) = 0 \implies \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} (Y - C\hat{\beta})'(Y - C\hat{\beta})$