对于任意两个随机变量X和Y，若其方差存在，则与X和Y不相关(即rho_(xy)=0)等价的是( )A. X与Y独立B. E(XY)=E(X)E(Y)C. X与Y不独立D. D(XY)=D(X)D(Y)

本题考查随机变量不相关的等价条件，解题的关键在于明确随机变量不相关的定义以及相关公式之间的关系。

1. 明确随机变量不相关的定义

随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关的定义是它们的相关系数 $\rho_{xy} = 0$。相关系数的计算公式为：
$\rho_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$
其中 $Cov(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差，$D(X)$ 和 $D(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。

2. 分析协方差与不相关的关系

因为方差 $D(X)$ 和 $D(Y)$ 存在且大于 $0$（方差为 $0$ 是特殊情况，一般不影响一般性讨论），当 $\rho_{xy} = 0$ 时，由 $\rho_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} = 0$，可得 $Cov(X,Y)=0$。

3. 分析协方差的计算公式

协方差 $Cov(X,Y)$ 的计算公式为 $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。
当 $Cov(X,Y)=0$ 时，即 $E(XY)-E(X)E(Y)=0$，移项可得 $E(XY)=E(X)E(Y)$。

4. 对各选项进行分析

• 选项A：$X$ 与 $Y$ 独立是一个比不相关更强的条件。独立一定不相关，但不相关不一定独立，所以 $X$ 与 $Y$ 不相关不能推出 $X$ 与 $Y$ 独立，该选项错误。
• 选项B：由前面的推导可知，$X$ 和 $Y$ 不相关等价于 $E(XY)=E(X)E(Y)$，该选项正确。
• 选项C：$X$ 与 $Y$ 不相关不能得出 $X$ 与 $Y$ 不独立，它们之间没有必然的推出关系，该选项错误。
• 选项D：$D(XY)=D(X)D(Y)$ 与 $X$ 和 $Y$ 不相关之间没有直接的等价关系，一般情况下，即使 $X$ 和 $Y$ 不相关，$D(XY)$ 也不一定等于 $D(X)D(Y)$，该选项错误。