二、(10分)已知随机变量 sim N(0,1) , = ) -1, xlt -1 0, -1leqslant xlt 1 1, xgeqslant 1 .

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的分布函数求解，以及利用标准正态分布函数计算概率。

解题思路：

1. 分布函数定义：根据分布函数的定义，分段讨论Y的取值范围，结合X的分布计算对应概率。
2. 离散型变量特点：Y的取值为-1、0、1，分布函数在这些点处发生跳跃。
3. 对称性应用：利用标准正态分布的对称性简化计算，如$\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$。

破题关键：

• 分段讨论：将Y的取值范围划分为四个区间，分别对应不同的概率计算。
• 概率叠加：在计算复合事件概率时，将符合条件的Y取值对应的概率相加。

(1) 求Y的分布函数

步骤1：确定Y的可能取值
Y的取值为-1、0、1，对应X的区间分别为：

• $Y=-1$：$X < -1$
• $Y=0$：$-1 \leq X < 1$
• $Y=1$：$X \geq 1$

步骤2：计算各取值的概率
利用标准正态分布函数$\Phi(x)$：

• $P(Y=-1) = P(X < -1) = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$
• $P(Y=0) = P(-1 \leq X < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1$
• $P(Y=1) = P(X \geq 1) = 1 - \Phi(1)$

步骤3：构建分布函数
根据定义$F_Y(y) = P(Y \leq y)$，分段讨论：

• 当$y < -1$：$F_Y(y) = 0$
• 当$-1 \leq y < 0$：$F_Y(y) = P(Y=-1) = 1 - \Phi(1)$
• 当$0 \leq y < 1$：$F_Y(y) = P(Y=-1) + P(Y=0) = 1 - \Phi(1) + 2\Phi(1) - 1 = \Phi(1)$
• 当$y \geq 1$：$F_Y(y) = 1$

最终表达式：
$F_Y(y) = \begin{cases}0, & y < -1, \\1 - \Phi(1), & -1 \leq y < 0, \\\Phi(1), & 0 \leq y < 1, \\1, & y \geq 1.\end{cases}$

(2) 求$P\{-3 < Y < 0.8\}$

步骤1：分析事件范围
由于Y的取值为-1、0、1，事件$-3 < Y < 0.8$等价于$Y=-1$或$Y=0$。

步骤2：计算概率
$\begin{aligned}P\{-3 < Y < 0.8\} &= P(Y=-1) + P(Y=0) \\&= (1 - \Phi(1)) + (2\Phi(1) - 1) \\&= \Phi(1).\end{aligned}$