16. 若函数f(z)=x^2+2xy-y^2+i(y^2+axy-x^2)在复平面内处处解析，那么实常数a=（）A. 0B. 1C. 2D. -2

本题考查复变函数解析的充要条件，即柯西 - 黎曼方程。解题思路是先确定函数$f(z)$的实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$，然后分别求出$u(x,y)$和$v(x,y)$关于$x$和$y$的偏导数，最后根据柯西 - 黎曼方程建立等式求解实常数$a$。

已知函数$f(z)=x^{2}+2xy - y^{2}+i(y^{2}+axy - x^{2})$，设$u(x,y)=x^{2}+2xy - y^{2}$，$v(x,y)=y^{2}+axy - x^{2}$。

1. 求$u(x,y)$关于$x$和$y$的偏导数：
   • 对$u(x,y)$关于$x$求偏导数，将$y$看作常数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
     $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+2xy - y^{2}) = 2x + 2y$
   • 对$u(x,y)$关于$y$求偏导数，将$x$看作常数，可得：
     $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+2xy - y^{2}) = 2x - 2y$
2. 求$v(x,y)$关于$x$和$y$的偏导数：
   • 对$v(x,y)$关于$x$求偏导数，将$y$看作常数，可得：
     $\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}+axy - x^{2}) = ay - 2x$
   • 对$v(x,y)$关于$y$求偏导数，将$x$看作常数，可得：
     $\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}+axy - x^{2}) = 2y + ax$
3. 根据柯西 - 黎曼方程建立等式：
   柯西 - 黎曼方程为$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$且$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。
   • 由$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$可得：
     $2x + 2y = 2y + ax$
     移项可得$(2 - a)x = 0$，因为该等式对于任意$x$都成立，所以$2 - a = 0$，即$a = 2$。
   • 由$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$可得：
     $2x - 2y = -(ay - 2x)$
     去括号得$2x - 2y = -ay + 2x$，移项可得$(a - 2)y = 0$，因为该等式对于任意$y$都成立，所以$a - 2 = 0$，即$a = 2$。

综上，实常数$a = 2$。