求下列函数的微分.(1)=dfrac (1)(x)+2sqrt (x) (2)=dfrac (1)(x)+2sqrt (x)(3)=dfrac (1)(x)+2sqrt (x) (4)=dfrac (1)(x)+2sqrt (x)

考查要点：本题主要考查函数微分的计算，涉及幂函数、乘积法则、商法则、链式法则等求导方法的应用。

解题思路：

1. 求导后乘以微分$dx$：微分$dy = y'(x)dx$，因此核心是正确求出函数的导数$y'(x)$。
2. 分项处理：对于多项式或复合函数，需逐项求导或分解结构。
3. 法则选择：
   • 幂函数：利用$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$；
   • 乘积项（如$x\sin 2x$）：使用乘积法则；
   • 分式或根式：转化为幂函数或使用商法则；
   • 复合函数（如$\ln^2(1-x)$）：结合链式法则。

第（1）题

函数：$y = \dfrac{1}{x} + 2\sqrt{x}$

求导过程

1. 第一项：$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\dfrac{1}{x^2}$；
2. 第二项：$\dfrac{d}{dx}\left(2x^{1/2}\right) = 2 \cdot \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$；
3. 合并结果：$y' = -\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$。

第（2）题

函数：$y = x\sin 2x$

乘积法则应用

1. 设$u = x$，$v = \sin 2x$；
2. 求导：$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sin 2x + x \cdot 2\cos 2x$；
3. 化简：$y' = \sin 2x + 2x\cos 2x$。

第（3）题

函数：$y = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

商法则或幂函数转化

1. 改写为幂函数：$y = x(x^2 + 1)^{-1/2}$；
2. 乘积法则：
   • $u = x$，$v = (x^2 + 1)^{-1/2}$；
   • $y' = u'v + uv' = 1 \cdot (x^2 + 1)^{-1/2} + x \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)(x^2 + 1)^{-3/2} \cdot 2x$；
3. 化简：$y' = \dfrac{1}{(x^2 + 1)^{1/2}} - \dfrac{x^2}{(x^2 + 1)^{3/2}} = \dfrac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$。

第（4）题

函数：$y = \ln^2(1 - x)$

链式法则应用

1. 外层函数：$u^2$，其中$u = \ln(1 - x)$；
2. 导数计算：
   • 外层导数：$2u = 2\ln(1 - x)$；
   • 内层导数：$\dfrac{d}{dx}\ln(1 - x) = -\dfrac{1}{1 - x}$；
3. 合并结果：$y' = 2\ln(1 - x) \cdot \left(-\dfrac{1}{1 - x}\right) = -\dfrac{2\ln(1 - x)}{1 - x}$。