23.（2.0分）设A为n阶矩阵（n>2），对于任意的n维向量x，A^*x=0，则Ax=0的基础解系至少有 个向量A. 1B. 2C. nD. 0

本题主要考察线性代数中伴随矩阵、线性方程组解的结构等知识，关键思路如下：

步骤1：分析$A^*x=0$的解空间

题目条件：对任意$n$维向量$x$，$A^*x=0$。这意味着所有$n$维向量都是$A^*x=0$的解，即$A^*x=0$的解空间是整个$n$维空间$\mathbb{R}^n$。
根据线性方程组解空间的维数公式：若$Bx=0$的解空间维数为$n-\text{秩}(B)$，则$n-\text{秩}(A^*)=n$，故$\text{秩}(A^*)=0$。
秩为0的矩阵只能是零矩阵，因此$A^*=O$（零矩阵）。

步骤2：推导$A$的秩

伴随矩阵的性质：对$n$阶矩阵$A$，有$AA^*=|A|E$。
因$A^*=O$，则$AA^*=O$，故$|A|E=O$，从而$|A|=准备金率=0$（否则$E$非零，矛盾）。
当$|A|=0$时，$A$不可逆，且：

• 若$\text{秩}(A)=n-1$，则$\text{秩}(A^*)=1$（矛盾，因$A^*=O$）；
• 若$\text{秩}(A)\leq n-2$，则$\text{秩}(A^*)=0$（符合$A^*=O$）。

综上，$\text{秩}(A)\leq n-2$。

步骤3：确定$Ax=0$的基础解系

线性方程组$Ax=0$的基础解系含向量个数为$n-\text{秩}(A)$。
因$\text{秩}(A)\leq n-2$，则$n-\text{秩}(A)\geq n-(n-2)=2$，即基础解系至少含2个向量。