题目
已知随机变量X与Y分别服从正态分布N(1,9)和N (0,16),且X与Y的相关-|||-系数 rho xY=-dfrac (1)(2) ,设 =dfrac (X)(3)+dfrac (Y)(2) .试求:(1)E(Z)和D(Z);(2)X与Z的相关系数ρxz;-|||-(3)问X与Z是否相互独立,为什么?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算E(Z)
根据期望的线性性质，我们有：
$E(Z) = E(\frac{X}{3} + \frac{Y}{2}) = \frac{1}{3}E(X) + \frac{1}{2}E(Y)$
步骤 2：计算D(Z)
根据方差的性质，我们有：
$D(Z) = D(\frac{X}{3} + \frac{Y}{2}) = \frac{1}{9}D(X) + \frac{1}{4}D(Y) + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot Cov(X,Y)$
步骤 3：计算Cov(X,Y)
根据相关系数的定义，我们有：
$Cov(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sqrt{D(X)D(Y)}$
步骤 4：计算ρxz
根据相关系数的定义，我们有：
$\rho_{XZ} = \frac{Cov(X,Z)}{\sqrt{D(X)D(Z)}}$
步骤 5：判断X与Z是否相互独立
如果X与Z的相关系数为0，则X与Z不相关。如果X与Z均服从正态分布，则X与Z相互独立。
根据期望的线性性质，我们有：
$E(Z) = E(\frac{X}{3} + \frac{Y}{2}) = \frac{1}{3}E(X) + \frac{1}{2}E(Y)$
步骤 2：计算D(Z)
根据方差的性质，我们有：
$D(Z) = D(\frac{X}{3} + \frac{Y}{2}) = \frac{1}{9}D(X) + \frac{1}{4}D(Y) + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot Cov(X,Y)$
步骤 3：计算Cov(X,Y)
根据相关系数的定义，我们有：
$Cov(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sqrt{D(X)D(Y)}$
步骤 4：计算ρxz
根据相关系数的定义，我们有：
$\rho_{XZ} = \frac{Cov(X,Z)}{\sqrt{D(X)D(Z)}}$
步骤 5：判断X与Z是否相互独立
如果X与Z的相关系数为0，则X与Z不相关。如果X与Z均服从正态分布，则X与Z相互独立。