设随机变量满足，记标准正态分布函数，则A B C D

考查要点：本题主要考查正态分布的标准化变换及概率计算，需要理解随机变量函数的分布与标准正态分布的关系。

解题核心思路：

1. 变量转换：将原问题中的概率$P(1 < X < 3)$转化为关于$X^3$的概率表达式。
2. 标准化处理：利用$X^3 \sim N(1, 26^2)$的性质，将$X^3$标准化为标准正态变量。
3. 计算概率：通过标准正态分布函数$\Phi(x)$计算对应区间的概率。

破题关键点：

• 正确转换不等式：明确$X$的范围与$X^3$的范围之间的对应关系。
• 标准化公式：将$X^3$的取值范围转化为标准正态变量的区间。
• 利用$\Phi(0) = \frac{1}{2}$简化计算。

步骤1：转换不等式
由$1 < X < 3$，两边同时立方得：
$1 < X^3 < 27.$
因此，原概率可转化为：
$P(1 < X < 3) = P(1 < X^3 < 27).$

步骤2：标准化处理
已知$X^3 \sim N(1, 26^2)$，标准化后变量为：
$Z = \frac{X^3 - 1}{26} \sim N(0, 1).$
将不等式$1 < X^3 < 27$代入标准化公式：
$\begin{aligned}P(1 < X^3 < 27) &= P\left( \frac{1 - 1}{26} < \frac{X^3 - 1}{26} < \frac{27 - 1}{26} \right) \\&= P(0 < Z < 1).\end{aligned}$

步骤3：计算概率
根据标准正态分布函数$\Phi(x)$的定义：
$P(0 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(0).$
由于$\Phi(0) = \frac{1}{2}$，最终结果为：
$P(1 < X < 3) = \Phi(1) - \frac{1}{2}.$