题目
已知方程x^2y^2+y=1(ygt 0)确定y是x的函数，则( ).A. y(x)有极小值，但无极大值B. y(x)有极大值，但无极小值C. y(x)既有极大值又有极小值D. y(x)无极值
已知方程$$x^2y^2+y=1(y\gt 0)$$确定y是x的函数，则( ).
A. $$y(x)$$有极小值，但无极大值
B. $$y(x)$$有极大值，但无极小值
C. $$y(x)$$既有极大值又有极小值
D. $$y(x)$$无极值
题目解答
答案
B. $$y(x)$$有极大值，但无极小值
解析
步骤 1：求导
首先，对给定的方程$$x^2y^2+y=1$$进行隐函数求导。对方程两边同时对x求导，得到：
$$2xy^2+2x^2yy'+y'=0$$
步骤 2：求解y'
从上式中解出y'，得到：
$$y'=\frac{-2xy^2}{2x^2y+1}$$
步骤 3：求二阶导数y''
对y'再次求导，得到y''，即：
$$y''=\frac{d}{dx}\left(\frac{-2xy^2}{2x^2y+1}\right)$$
步骤 4：分析极值
根据y'和y''的符号，分析函数的极值情况。由于y'的表达式中分子为负，分母为正，因此y'的符号取决于x的符号。当x=0时，y'=0，此时可能为极值点。进一步分析y''在x=0时的符号，可以确定极值的类型。
步骤 5：确定极值类型
由于y''在x=0时的符号取决于y的值，而y>0，因此可以确定y(x)在x=0时有极大值，但无极小值。
首先，对给定的方程$$x^2y^2+y=1$$进行隐函数求导。对方程两边同时对x求导，得到：
$$2xy^2+2x^2yy'+y'=0$$
步骤 2：求解y'
从上式中解出y'，得到：
$$y'=\frac{-2xy^2}{2x^2y+1}$$
步骤 3：求二阶导数y''
对y'再次求导，得到y''，即：
$$y''=\frac{d}{dx}\left(\frac{-2xy^2}{2x^2y+1}\right)$$
步骤 4：分析极值
根据y'和y''的符号，分析函数的极值情况。由于y'的表达式中分子为负，分母为正，因此y'的符号取决于x的符号。当x=0时，y'=0，此时可能为极值点。进一步分析y''在x=0时的符号，可以确定极值的类型。
步骤 5：确定极值类型
由于y''在x=0时的符号取决于y的值，而y>0，因此可以确定y(x)在x=0时有极大值，但无极小值。