设连续型随机变量X的密度函数为f(x)=} kx+1, & 0 leq x leq 3 0, & (其他) ，常数k=().A. -(4)/(9)B. (1)/(2)C. -1D. 1

本题考查连续型随机变量概率密度函数的性质，解题思路是利用连续型随机变量概率密度函数在整个定义域上的积分值为$1$这一性质来求解常数$k$。

1. 首先明确连续型随机变量概率密度函数的性质：
   对于连续型随机变量$X$的概率密度函数$f(x)$，有$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$。
2. 然后根据已知的概率密度函数$f(x)=\begin{cases} kx + 1, & 0 \leq x \leq 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，计算积分$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$：
   因为$f(x)$在$0\leq x\leq 3$时为$kx + 1$，在其他区间为$0$，所以$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{0}^{3}(kx + 1)dx$。
3. 接着计算定积分$\int_{0}^{3}(kx + 1)dx$：
   根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(u(x)+v(x))dx=\int_{a}^{b}u(x)dx+\int_{a}^{b}v(x)dx$，可得$\int_{0}^{3}(kx + 1)dx=\int_{0}^{3}kxdx+\int_{0}^{3}1dx$。
   • 计算$\int_{0}^{3}kxdx$：
     根据定积分公式$\int_{a}^{b}x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}\big|_{a}^{b}$（$n\neq -1$），可得$\int_{0}^{3}kxdx=k\int_{0}^{3}xdx=k\times\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{3}=\frac{k}{2}\times(3^2 - 0^2)=\frac{9k}{2}$。
   • 计算$\int_{0}^{3}1dx$：
     $\int_{0}^{3}1dx=x\big|_{0}^{3}=3 - 0 = 3$。
   • 所以$\int_{0}^{3}(kx + 1)dx=\frac{9k}{2}+3$。
4. 最后求解$k$的值：
   由$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$，即$\frac{9k}{2}+3 = 1$。
   移项可得$\frac{9k}{2}=1 - 3=-2$。
   两边同时乘以$\frac{2}{9}$，解得$k=-2\times\frac{2}{9}=-\frac{4}{9}$。