题目
设总体 X sim N(3,16), X_1, X_2, ldots, X_6 为来自总体 X 的一个简单随机样本，overline(X) 为样本均值，则（）A. overline(X) - 3 sim N(0,1)B. 4(overline(X) - 3)sim N(0,1)C. (overline(X) - 3)/(4) sim N(0,1)D. (sqrt(6)(overline(X) - 3))/(4) sim N(0,1)
设总体 $X \sim N(3,16)$, $X_1, X_2, \ldots, X_6$ 为来自总体 $X$ 的一个简单随机样本，$\overline{X}$ 为样本均值，则（）
A. $\overline{X} - 3 \sim N(0,1)$
B. $4(\overline{X} - 3)\sim N(0,1)$
C. $\frac{\overline{X} - 3}{4} \sim N(0,1)$
D. $\frac{\sqrt{6}(\overline{X} - 3)}{4} \sim N(0,1)$
题目解答
答案
D. $\frac{\sqrt{6}(\overline{X} - 3)}{4} \sim N(0,1)$
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
已知总体 $X \sim N(3, 16)$，即总体均值 $\mu = 3$，总体方差 $\sigma^2 = 16$。样本容量为 $n = 6$，样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即 $N\left(3, \frac{16}{6}\right) = N\left(3, \frac{8}{3}\right)$。
步骤 2：标准化样本均值
标准正态变量公式为：\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma_{\overline{X}}} = \frac{\overline{X} - 3}{\sqrt{\frac{8}{3}}} = \frac{\overline{X} - 3}{\frac{2\sqrt{6}}{3}} = \frac{\sqrt{6}(\overline{X} - 3)}{4} \] 因此，$\frac{\sqrt{6}(\overline{X} - 3)}{4} \sim N(0, 1)$。
已知总体 $X \sim N(3, 16)$，即总体均值 $\mu = 3$，总体方差 $\sigma^2 = 16$。样本容量为 $n = 6$，样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即 $N\left(3, \frac{16}{6}\right) = N\left(3, \frac{8}{3}\right)$。
步骤 2：标准化样本均值
标准正态变量公式为：\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma_{\overline{X}}} = \frac{\overline{X} - 3}{\sqrt{\frac{8}{3}}} = \frac{\overline{X} - 3}{\frac{2\sqrt{6}}{3}} = \frac{\sqrt{6}(\overline{X} - 3)}{4} \] 因此，$\frac{\sqrt{6}(\overline{X} - 3)}{4} \sim N(0, 1)$。