题目

某种小汽车氧化氮的排放量的数学期望为 .9g/km, 标准差为-|||-https:/img.cdnjtzy.com/zyb_1097b667cd35772a5542394b30d84004.jpg.9g/km, 某汽车公司有这种小汽车100辆,以X表示这些车辆氧化氮排放量-|||-的算术平均,问当L为何值时 overline (X)gt L 的概率不超过0.01.

题目解答

答案

解析

本题考查中心极限定理的应用。解题的关键思路是先根据已知条件求出样本均值$\overline{X}$的期望和方差，再利用中心极限定理确定$\overline{X}$近似服从的正态分布，最后根据给定的概率不等式求解$L$的值。

  1. 计算样本均值$\overline{X}$的期望和方差：
    • 设$X_{i}(i = 1,2,\cdots,100)$表示第$i$辆小汽车氧化氮的排放量，已知$E(X_{i}) = 0.9$，$D(X_{i}) = 1.9^{2}$。
    • 根据期望和方差的性质，对于样本均值$\overline{X}=\frac{1}{100}\sum_{i = 1}^{100}X_{i}$，其期望$E(\overline{X})$为：
      $E(\overline{X}) = E(\frac{1}{100}\sum_{i = 1}^{100}X_{i})=\frac{1}{100}\sum_{i = 1}^{100}E(X_{i})$
      因为$E(X_{i}) = 0.9$，所以$E(\overline{X})=\frac{1}{100}\times100\times0.9 = 0.9$。
    • 其方差$D(\overline{X})$为：
      $D(\overline{X}) = D(\frac{1}{100}\sum_{i = 1}^{100}X_{i})=\frac{1}{100^{2}}\sum_{i = 1}^{100}D(X_{i})$
      因为$D(X_{i}) = 1.9^{2}$，所以$D(\overline{X})=\frac{1}{100^{2}}\times100\times1.9^{2}=\frac{1.9^{2}}{100}$。
  2. 确定$\overline{X}$近似服从的正态分布：
    由于各辆汽车氧化氮的排放量相互独立，根据中心极限定理，当样本容量$n = 100$足够大时，$\overline{X}$近似服从正态分布$N(E(\overline{X}),D(\overline{X}))$，即$\overline{X}\sim N(0.9,\frac{1.9^{2}}{100})$。
  3. 对$P\{\overline{X} > L\} \leq 0.01$进行标准化处理：
    令$Z=\frac{\overline{X}-E(\overline{X})}{\sqrt{D(\overline{X})}}=\frac{\overline{X}-0.9}{0.19}$，则$Z\sim N(0,1)$。
    $P\{\overline{X} > L\} = P\{\frac{\overline{X}-0.9}{0.19} > \frac{L - 0.9}{0.19}\}=1 - P\{\frac{\overline{X}-0.9}{0.19} \leq \frac{L - 0.9}{0.19}\}=1 - \varPhi(\frac{L - 0.9}{0.19})$
    其中$\varPhi(z)$是标准正态分布$N(0,1)$的分布函数。
  4. 求解$L$的值：
    已知$P\{\overline{X} > L\} \leq 0.01$，即$1 - \varPhi(\frac{L - 0.9}{0.19}) \leq 0.01$，移项可得$\varPhi(\frac{L - 0.9}{0.19}) \geq 0.99$。
    查标准正态分布表可得$\varPhi(2.33)=0.99$，所以$\frac{L - 0.9}{0.19} \geq 2.33$。
    解这个不等式：
    $\begin{align*}\frac{L - 0.9}{0.19} &\geq 2.33\\L - 0.9 &\geq 2.33\times0.19\\L - 0.9 &\geq 0.4427\\L &\geq 0.9 + 0.4427\\L &\geq 1.3427\end{align*}$
    所以$L$的最小值为$1.3427g/km$。