设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0。设干燥时间总体服从正态分布，求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知

考查要点：本题主要考查正态总体均值的置信区间估计，涉及两种情况：已知总体标准差σ和未知σ。需要掌握Z分布和t分布的应用条件及计算步骤。

解题核心思路：

1. 确定分布类型：根据σ是否已知，选择Z分布或t分布。
2. 计算样本均值：作为置信区间的中心。
3. 查临界值：根据置信度和自由度（若用t分布）确定临界值。
4. 代入公式计算区间：分别用Z或t临界值、标准差、样本量计算误差范围。

破题关键点：

• 区分σ已知与未知：σ已知时用Z，未知时用t。
• 正确计算样本标准差：注意自由度为n-1。
• 精确查表：Z值和t值需对应正确的分位数和自由度。

（1）已知σ=0.6

计算样本均值

$\bar{x} = \frac{6.0 + 5.7 + 5.8 + 6.5 + 7.0 + 6.3 + 5.6 + 6.1 + 5.0}{9} = 6.0$

确定临界值

置信度0.95对应双侧α=0.05，查标准正态分布表得：
$z_{0.025} = 1.96$

计算置信区间

$\text{置信区间} = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 6.0 \pm 1.96 \cdot \frac{0.6}{3} = 6.0 \pm 0.392$
即区间为 $(5.608, 6.392)$。

（2）σ未知

计算样本标准差

样本方差：
$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{2.64}{8} = 0.33 \quad \Rightarrow \quad s = \sqrt{0.33} \approx 0.574$

确定临界值

自由度 $df = n-1 = 8$，查t分布表得：
$t_{0.025,8} = 2.3060$

计算置信区间

$\text{置信区间} = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,df} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 6.0 \pm 2.3060 \cdot \frac{0.574}{3} = 6.0 \pm 0.441$
即区间为 $(5.558, 6.442)$。