题目

某手机运营商 APP 推出“每日签到领流量”活动，每次签到可随机获得 1 档手机流量，流量档位及对应概率如下：获得 100MB 流量（weekday 工作日签到）：概率 60%；获得 200MB 流量（weekend 周末签到）：概率 30%；获得 500MB 流量（节日特殊签到）：概率 10%。试求：（1）单次签到获得流量的概率分布；（2）单次签到获得流量的期望值；

题目解答

答案

(1) 概率分布
单次签到获得流量的概率分布为：

100MB：概率0.6
200MB：概率0.3
500MB：概率0.1

答案：
$\boxed{ \begin{array}{ccc} \text{流量（MB）} & 100 & 200 & 500 \\ \text{概率} & 0.6 & 0.3 & 0.1 \\ \end{array} }$

(2) 期望值
期望值计算公式：
$E(X) = 100 \times 0.6 + 200 \times 0.3 + 500 \times 0.1 = 60 + 60 + 50 = 170 \text{MB}$

答案：
$\boxed{170 \text{MB}}$

解析

本题主要考查离散型随机变量的概率分布和期望值的计算。解题思路如下：

（1）求单次签到获得流量的概率分布

概率分布是指随机变量所有可能取值及其对应的概率。题目中已经明确给出了每次签到获得不同流量档位的概率，我们只需要将流量值和对应的概率整理成表格形式即可。

（2）求单次签到获得流量的期望值

期望值是随机变量的所有可能取值按照其对应概率加权平均的结果。对于离散型随机变量 $X$，其期望值 $E(X)$ 的计算公式为 $E(X)=\sum_{i}x_{i}p_{i}$，其中 $x_{i}$ 是随机变量 $X$ 的第 $i$ 个取值，$p_{i}$ 是取值 $x_{i}$ 对应的概率。在本题中，流量值 $x_1 = 100MB$，$x_2 = 200MB$，$x_3 = 500MB$，对应的概率 $p_1 = 0.6$，$p_2 = 0.3$，$p_3 = 0.1$，我们将这些值代入公式进行计算。

具体计算过程

（1）单次签到获得流量的概率分布

根据题目所给信息，将流量值和对应的概率整理成表格：

流量（MB）	100	200	500
概率	0.6	0.3	0.1

（2）单次签到获得流量的期望值

根据期望值公式 $E(X)=\sum_{i}x_{i}p_{i}$，可得：
$\begin{align*}E(X)&=100\times0.6 + 200\times0.3 + 500\times0.1\\&= 60 + 60 + 50\\&= 170(MB)\end{align*}$