题目

(4)直线L:(x-1)/(1)=(y)/(1)=(z-1)/(-1)在平面pi :x-y+2z-1=0上的投影直线L_(0)的单位方向向量为____.

(4)直线$L:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$在平面$\pi :x-y+2z-1=0$上的投影直线$L_{0}$的单位方向向量为____.

题目解答

答案

为了找到直线 $ L: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1} $ 在平面 $ \pi: x - y + 2z - 1 = 0 $ 上的投影直线 $ L_0 $ 的单位方向向量，我们需要遵循以下步骤： 1. **确定直线 $ L $ 的方向向量：** 直线 $ L $ 的对称形式为 $ \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1} $。因此，直线 $ L $ 的方向向量 $ \mathbf{d} $ 为 $ \mathbf{d} = \langle 1, 1, -1 \rangle $。 2. **确定平面 $ \pi $ 的法向量：** 平面 $ \pi $ 的方程为 $ x - y + 2z - 1 = 0 $。因此，平面 $ \pi $ 的法向量 $ \mathbf{n} $ 为 $ \mathbf{n} = \langle 1, -1, 2 \rangle $。 3. **找到直线 $ L $ 的方向向量在平面 $ \pi $ 上的投影：** 直线 $ L $ 的方向向量在平面 $ \pi $ 上的投影可以通过从 $ \mathbf{d} $ 中减去 $ \mathbf{d} $ 在 $ \mathbf{n} $ 上的投影来找到。 $ \mathbf{d} $ 在 $ \mathbf{n} $ 上的投影由下式给出： \[ \text{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{d} = \frac{\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{n} \] 首先，计算点积： \[ \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 1 - 1 - 2 = -2 \] \[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6 \] 因此， \[ \text{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{d} = \frac{-2}{6} \mathbf{n} = -\frac{1}{3} \mathbf{n} = -\frac{1}{3} \langle 1, -1, 2 \rangle = \left\langle -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right\rangle \] 直线 $ L $ 的方向向量在平面 $ \pi $ 上的投影为： \[ \mathbf{d}_{\pi} = \mathbf{d} - \text{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{d} = \langle 1, 1, -1 \rangle - \left\langle -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right\rangle = \left\langle \frac{4}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right\rangle \] 4. **找到投影方向向量的单位向量：** 投影方向向量 $ \mathbf{d}_{\pi} $ 的模为： \[ $\mathbf{d}_{\pi}$ = \sqrt{\left( \frac{4}{3} \right)^2 + \left( \frac{2}{3} \right)^2 + \left( -\frac{1}{3} \right)^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{21}{9}} = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3} \] 因此，单位方向向量为： \[ \mathbf{u} = \frac{\mathbf{d}_{\pi}}{$\mathbf{d}_{\pi}$} = \frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{3}} \left\langle \frac{4}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right\rangle = \frac{3}{\sqrt{21}} \left\langle \frac{4}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right\rangle = \left\langle \frac{4}{\sqrt{21}}, \frac{2}{\sqrt{21}}, -\frac{1}{\sqrt{21}} \right\rangle \] 投影直线 $ L_0 $ 的单位方向向量为 $\boxed{\left\langle \frac{4}{\sqrt{21}}, \frac{2}{\sqrt{21}}, -\frac{1}{\sqrt{21}} \right\rangle}$。

解析

考查要点：本题主要考查空间直线在平面上的投影方向向量的求解方法，涉及向量投影、单位向量的计算。

解题核心思路：

  1. 确定直线方向向量：由直线的对称式方程直接读出方向向量。
  2. 确定平面法向量：由平面方程的系数直接得到。
  3. 投影方向向量计算：将直线方向向量分解为平面法向量方向的分量和平面内的分量，保留平面内的分量即为投影方向向量。
  4. 单位化：将投影方向向量归一化为单位向量。

破题关键点：

  • 向量投影公式的应用：正确计算直线方向向量在法向量上的投影并减去。
  • 单位向量的计算：确保最终结果的模为1。

步骤1：确定直线方向向量

直线$L$的对称式方程为$\frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1}$，其方向向量为：
$\mathbf{d} = \langle 1, 1, -1 \rangle$

步骤2：确定平面法向量

平面$\pi$的方程为$x - y + 2z - 1 = 0$，其法向量为：
$\mathbf{n} = \langle 1, -1, 2 \rangle$

步骤3：计算投影方向向量

投影方向向量$\mathbf{d}_{\pi}$由以下公式计算：
$\mathbf{d}_{\pi} = \mathbf{d} - \text{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{d}$
其中，投影分量为：
$\text{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{d} = \frac{\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{n}$
计算点积：
$\mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = -2$
$\mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 6$
因此：
$\text{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{d} = \frac{-2}{6} \mathbf{n} = \left\langle -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right\rangle$
投影方向向量为：
$\mathbf{d}_{\pi} = \langle 1, 1, -1 \rangle - \left\langle -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right\rangle = \left\langle \frac{4}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right\rangle$

步骤4：单位化方向向量

计算模长：
$\|\mathbf{d}_{\pi}\| = \sqrt{\left( \frac{4}{3} \right)^2 + \left( \frac{2}{3} \right)^2 + \left( -\frac{1}{3} \right)^2} = \frac{\sqrt{21}}{3}$
单位方向向量为：
$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{d}_{\pi}}{\|\mathbf{d}_{\pi}\|} = \left\langle \frac{4}{\sqrt{21}}, \frac{2}{\sqrt{21}}, -\frac{1}{\sqrt{21}} \right\rangle$