题目
设总体sim N(0,(sigma )^2)sim N(0,(sigma )^2) 是总体sim N(0,(sigma )^2) 的一个样本, sim N(0,(sigma )^2) 则 sim N(0,(sigma )^2)
设总体
是总体
的一个样本, 
则 
题目解答
答案
根据随机变量概率的性质，得
∵总体
∴
且
是总体 的一个样本
∴
∴
∴
解析
步骤 1：理解总体分布和样本
总体$X\sim N(0,{\sigma }^{2})$，表示总体服从均值为0，方差为${\sigma }^{2}$的正态分布。$X_1, X_2, \cdots, X_n$是总体的一个样本，即每个$X_i$独立地服从$N(0,{\sigma }^{2})$的正态分布。
步骤 2：计算样本均值的期望
样本均值$Y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，根据期望的线性性质，有$E(Y)=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)$。由于每个$X_i$的期望$E(X_i)=0$，所以$E(Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}0=0$。
步骤 3：计算样本均值的方差
样本均值$Y$的方差$D(Y)=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i)$。由于每个$X_i$的方差$D(X_i)={\sigma }^{2}$，所以$D(Y)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}{\sigma }^{2}=\frac{1}{n^2}n{\sigma }^{2}=\frac{{\sigma }^{2}}{n}$。
步骤 4：计算样本均值的期望的平方
$E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2=\frac{{\sigma }^{2}}{n}+0^2=\frac{{\sigma }^{2}}{n}$。
总体$X\sim N(0,{\sigma }^{2})$，表示总体服从均值为0，方差为${\sigma }^{2}$的正态分布。$X_1, X_2, \cdots, X_n$是总体的一个样本，即每个$X_i$独立地服从$N(0,{\sigma }^{2})$的正态分布。
步骤 2：计算样本均值的期望
样本均值$Y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，根据期望的线性性质，有$E(Y)=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)$。由于每个$X_i$的期望$E(X_i)=0$，所以$E(Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}0=0$。
步骤 3：计算样本均值的方差
样本均值$Y$的方差$D(Y)=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i)$。由于每个$X_i$的方差$D(X_i)={\sigma }^{2}$，所以$D(Y)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}{\sigma }^{2}=\frac{1}{n^2}n{\sigma }^{2}=\frac{{\sigma }^{2}}{n}$。
步骤 4：计算样本均值的期望的平方
$E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2=\frac{{\sigma }^{2}}{n}+0^2=\frac{{\sigma }^{2}}{n}$。