10.设随机变量X_(1),X_(2),...,X_(n)(n>1)独立同分布，其方差sigma^2>0，记overline(X)_(k)=(1)/(k)sum_(i=1)^kX_(i)(1leq kleq n)，则Cov(overline(X)_(s),overline(X)_(t))(1leq s,tleq n)=（）A. (sigma^2)/(maxs,t)B. (sigma^2)/(mins,t)C. sigma^2maxs,tD. sigma^2mins,t

考查要点：本题主要考查协方差的计算，涉及独立同分布随机变量的性质及平均值的协方差推导。

解题核心思路：

1. 协方差展开：将$\overline{X}_s$和$\overline{X}_t$的协方差展开为双重求和形式。
2. 独立性简化：利用独立同分布的性质，仅当指标相同时协方差非零。
3. 关键项计数：确定双重求和中有效项的数量，即$\min\{s,t\}$。
4. 化简表达式：通过代数变形得到最终结果，关键在于将$\min\{s,t\}/(st)$转化为$1/\max\{s,t\}$。

破题关键点：

• 独立性导致非对角项为零：只有当$i=j$时，$E[(X_i-\mu)(X_j-\mu)]=\sigma^2$。
• 有效项数量决定结果：有效项数量为$\min\{s,t\}$，最终结果与$\max\{s,t\}$相关。

协方差展开：
根据协方差定义：
$\begin{aligned}\text{Cov}(\overline{X}_s, \overline{X}_t) &= E\left[\left(\overline{X}_s - \mu\right)\left(\overline{X}_t - \mu\right)\right] \\&= E\left[\left(\frac{1}{s}\sum_{i=1}^s (X_i - \mu)\right)\left(\frac{1}{t}\sum_{j=1}^t (X_j - \mu)\right)\right] \\&= \frac{1}{st} E\left[\sum_{i=1}^s \sum_{j=1}^t (X_i - \mu)(X_j - \mu)\right].\end{aligned}$

独立性简化：
由于$X_i$独立同分布，当$i \neq j$时，$E[(X_i - \mu)(X_j - \mu)] = 0$；当$i = j$时，$E[(X_i - \mu)^2] = \sigma^2$。因此，仅当$i = j$时项非零，且有效项数量为$\min\{s,t\}$。

有效项计数与化简：
双重求和中，$i$和$j$需同时满足$1 \leq i \leq s$和$1 \leq j \leq t$，因此有效项为$\min\{s,t\}$个，每个贡献$\sigma^2$。代入得：
$\text{Cov}(\overline{X}_s, \overline{X}_t) = \frac{1}{st} \cdot \min\{s,t\} \cdot \sigma^2 = \frac{\sigma^2 \min\{s,t\}}{st}.$

最终化简：
注意到$\min\{s,t\}/(st) = 1/\max\{s,t\}$，因此：
$\text{Cov}(\overline{X}_s, \overline{X}_t) = \frac{\sigma^2}{\max\{s,t\}}.$