题目

随机测量了300名正常男性的身高和体重，算得身高x_(1)(cm)为169.5pm6.7，体重x_(2)(kg)为71.2pm5.6。(1) 试比较身高和体重的离散程度大小。(2) 分别计算身高和体重的95%正常值范围。(3) 现有一名男性测得身高为180(cm)，体重为80(kg)，试对该名男性的身高、体重进行判断。

随机测量了300名正常男性的身高和体重，算得身高$x_{1}$(cm)为$169.5\pm6.7$，体重$x_{2}$(kg)为$71.2\pm5.6$。 (1) 试比较身高和体重的离散程度大小。 (2) 分别计算身高和体重的$95\%$正常值范围。 (3) 现有一名男性测得身高为$180\text{cm}$，体重为$80\text{kg}$，试对该名男性的身高、体重进行判断。

题目解答

答案

(1) 离散程度比较
�身高的变异系数 $CV_1 = \frac{6.7}{169.5} \times 100\% \approx 3.95\%$，体重的变异系数 $CV_2 = \frac{5.6}{71.2} \times 100\% \approx 7.87\%$。
结论： 体重的离散程度大于身高。

(2) 95%正常值范围
身高：$169.5 \pm 1.96 \times 6.7 \approx (156.37, 182.63)$ cm
体重：$71.2 \pm 1.96 \times 5.6 \approx (60.22, 82.18)$ kg
结论： 身高范围为(156.37, 182.63) cm，体重范围为(60.22, 82.18) kg。

(3) 个体判断
身高180 cm在范围(156.37, 182.63) cm内，体重80 kg在范围(60.22, 82.18) kg内。
结论： 身高和体重均在正常范围内。

$\boxed{\begin{array}{ccc}\text{(1) 体重离散程度大于身高。} \\\text{(2) 身高：}(156.37, 182.63) \text{ cm，体重：}(60.22, 82.18) \text{ kg。} \\\text{(3) 身高和体重均正常。}\end{array}}$

解析

本题主要考查了变异系数的计算、正态分布下正常值范围的计算以及根据正常值范围对个体数据进行判断的知识点。解题思路如下：

  1. 比较身高和体重的离散程度：
    • 离散程度可以用变异系数（$CV$）来衡量，变异系数的计算公式为$CV=\frac{S}{\bar{X}}\times100\%$，其中$S$为标准差，$\bar{X}$为均值。
    • 已知身高$x_1$的均值$\bar{X}_1 = 169.5$cm，标准差$S_1 = 6.7$cm；体重$x_2$的均值$\bar{X}_2 = 71.2$kg，标准差$S_2 = 5.6$kg。
    • 计算身高的变异系数$CV_1$：
      将$\bar{X}_1 = 169.5$，$S_1 = 6.7$代入公式$CV_1=\frac{S_1}{\bar{X}_1}\times100\%$，可得$CV_1=\frac{6.7}{169.5}\times100\%\approx3.95\%$。
    • 计算体重的变异系数$CV_2$：
      将$\bar{X}_2 = 71.2$，$S_2 = 5.6$代入公式$CV_2=\frac{S_2}{\bar{X}_2}\times100\%$，可得$CV_2=\frac{5.6}{71.2}\times100\%\approx7.87\%$。
    • 比较$CV_1$和$CV_2$的大小，因为$7.87\%>3.95\%$，所以体重的离散程度大于身高。
  2. 计算身高和体重的$95\%$正常值范围：
    • 对于正态分布的数据，$95\%$正常值范围的计算公式为$\bar{X}\pm1.96S$。
    • 计算身高的$95\%$正常值范围：
      将$\bar{X}_1 = 169.5$，$S_1 = 6.7$代入公式，可得$169.5\pm1.96\times6.7$。
      先计算$1.96\times6.7 = 13.132$，则$169.5 - 13.132 = 156.368\approx156.37$，$169.5 + 13.132 = 182.632\approx182.63$，所以身高的$95\%$正常值范围约为$(156.37, 182.63)$cm。
    • 计算体重的$95\%$正常值范围：
      将$\bar{X}_2 = 71.2$，$S_2 = 5.6$代入公式，可得$71.2\pm1.96\times5.6$。
      先计算$1.96\times5.6 = 10.976$，则$71.2 - 10.976 = 60.224\approx60.22$，$71.2 + 10.976 = 82.176\approx82.18$，所以体重的$95\%$正常值范围约为$(60.22, 82.18)$kg。
  3. 对该名男性的身高、体重进行判断：
    • 已知该男性身高为$180$cm，体重为$80$kg。
    • 比较身高与身高的$95\%$正常值范围：
      因为$156.37<180<182.63$，所以身高在正常范围内。
    • 比较体重与体重的$95\%$正常值范围：
      因为$60.22<80<82.18$，所以体重在正常范围内。