题目
17.某地区成年男子的体重X(以kg计)服从正态分布N (μ,σ^2).若 已知 (Xleqslant 70)=0.5,-|||-(Xleqslant 60)=0.25.-|||-(1)求μ与σ各为多少?-|||-(2)若在这个地区随机地选出5名成年男子,问其中至少有两人体重超过65k g的概率是-|||-多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定μ
由于 $P(X\leqslant 70)=0.5$，根据正态分布的性质，中位数等于均值，因此μ=70。
步骤 2：确定σ
根据 $P(X\leqslant 60)=0.25$，可以将问题转化为标准正态分布问题。首先，将X=60转换为标准正态分布的Z值，即$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{60-70}{\sigma}=-\frac{10}{\sigma}$。根据标准正态分布表，$P(Z\leqslant -0.6745)=0.25$，因此$-\frac{10}{\sigma}=-0.6745$，解得$\sigma=\frac{10}{0.6745}\approx 14.81$。
步骤 3：计算至少有两人体重超过65kg的概率
首先，计算单个成年男子体重超过65kg的概率。将X=65转换为标准正态分布的Z值，即$Z=\frac{65-70}{14.81}=-0.3375$。根据标准正态分布表，$P(Z\leqslant -0.3375)=0.3686$，因此$P(X>65)=1-0.3686=0.6314$。然后，使用二项分布计算至少有两人体重超过65kg的概率。设Y为5名成年男子中体重超过65kg的人数，则$Y\sim B(5,0.6314)$。因此，$P(Y\geqslant 2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-(1-0.6314)^5-5\times0.6314\times(1-0.6314)^4\approx 0.94$。
由于 $P(X\leqslant 70)=0.5$，根据正态分布的性质，中位数等于均值，因此μ=70。
步骤 2：确定σ
根据 $P(X\leqslant 60)=0.25$，可以将问题转化为标准正态分布问题。首先，将X=60转换为标准正态分布的Z值，即$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{60-70}{\sigma}=-\frac{10}{\sigma}$。根据标准正态分布表，$P(Z\leqslant -0.6745)=0.25$，因此$-\frac{10}{\sigma}=-0.6745$，解得$\sigma=\frac{10}{0.6745}\approx 14.81$。
步骤 3：计算至少有两人体重超过65kg的概率
首先，计算单个成年男子体重超过65kg的概率。将X=65转换为标准正态分布的Z值，即$Z=\frac{65-70}{14.81}=-0.3375$。根据标准正态分布表，$P(Z\leqslant -0.3375)=0.3686$，因此$P(X>65)=1-0.3686=0.6314$。然后，使用二项分布计算至少有两人体重超过65kg的概率。设Y为5名成年男子中体重超过65kg的人数，则$Y\sim B(5,0.6314)$。因此，$P(Y\geqslant 2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-(1-0.6314)^5-5\times0.6314\times(1-0.6314)^4\approx 0.94$。