(3)设函数f(x)在 x=0 处可导,且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(2x)-f(0))(ln (1+3x))=1 ,则 f'(0)=() .-|||-(A) dfrac (2)(3) . (B) dfrac (3)(2) (C)6 (D) dfrac (1)(6)

本题考查函数在某点处导数的定义以及等价无穷小的应用。解题的关键思路是利用等价无穷小替换简化极限式子，再结合导数的定义求出$f^\prime(0)$。

1. 等价无穷小替换：
   当$x\to 0$时，$\ln(1 + x)\sim x$，所以当$x\to 0$时，$\ln(1 + 3x)\sim 3x$。
   那么$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)-f(0)}{\ln (1+3x)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)-f(0)}{3x}$。
2. 变形极限式子：
   为了能使用导数的定义，对$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)-f(0)}{3x}$进行变形，给分子分母同时乘以$\frac{2}{2}$，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)-f(0)}{3x}=\frac{2}{3}\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)-f(0)}{2x}$。
3. 根据导数定义求解：
   根据函数$y = f(x)$在$x = x_0$处导数的定义$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$，令$\Delta x = 2x$，当$x\to 0$时，$\Delta x\to 0$，则$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)-f(0)}{2x}=f^\prime(0)$。
   所以$\frac{2}{3}\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)-f(0)}{2x}=\frac{2}{3}f^\prime(0)$。
4. 计算$f^\prime(0)$：
   已知$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)-f(0)}{\ln (1+3x)}=1$，即$\frac{2}{3}f^\prime(0)=1$，解方程$\frac{2}{3}f^\prime(0)=1$，两边同时乘以$\frac{3}{2}$，可得$f^\prime(0)=\frac{3}{2}$。