填空题（共16题，32.0分）23.（2.0分）设A=(}2&-1&t1&-3&4-1&2&-3)，若r(A)=2，则t=____.
题目解答
答案
计算矩阵 $ A $ 的行列式：
$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & t \\ 1 & -3 & 4 \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2(1) + 1(1) + t(-1) = 3 - t$
为使 $ r(A) = 2 $，行列式为零：
$3 - t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 3$
答案： $\boxed{3}$
解析
本题考查矩阵的秩与行列式的关系。解题思路是根据矩阵的秩为$2$，得出矩阵的行列式为$0$，然后通过计算矩阵$A$的行列式来求解$t$的值。
下面进行详细计算：
计算矩阵$A$的行列式$\det(A)$，根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，可得：
$\det(A)=\begin{vmatrix}2& -1& t\\1& -3& 4\\ -1& 2& -3\end{vmatrix}=2\times\begin{vmatrix}-3& 4\\2& -3\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1& 4\\ -1& -3\end{vmatrix}+t\times\begin{vmatrix}1& -3\\ -1& 2\end{vmatrix}$
分别计算三个二阶行列式的值：
$\begin{vmatrix}-3& 4\\2& -3\end{vmatrix}=(-3)\times(-3)-4\times2 = 9 - 8 = 1$
$\begin{vmatrix}1& 4\\ -1& -3\end{vmatrix}=1\times(-3)-4\times(-1)= -3 + 4 = 1$
$\begin{vmatrix}1& -3\\ -1& 2\end{vmatrix}=1\times2 - (-3)\times(-1)= 2 - 3 = -1$
将上述结果代入$\det(A)$的表达式中，可得：
$\det(A)=2\times1 + 1\times1 + t\times(-1)= 2 + 1 - t = 3 - t$
因为$r(A)=2$，所以$\det(A)=0$，即$3 - t = 0$，解得$t = 3$。