题目

6.设Xsim N(mu,sigma^2)，Y=(X-mu)/(sigma)，则Y~____.

6.设$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$Y=\frac{X-\mu}{\sigma}$，则Y~____.

题目解答

答案

设 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，定义 $ Y = \frac{X - \mu}{\sigma} $。

  1. 计算期望：
    $E(Y) = E\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \frac{E(X) - \mu}{\sigma} = \frac{\mu - \mu}{\sigma} = 0$
  2. 计算方差：
    $D(Y) = D\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \frac{D(X)}{\sigma^2} = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1$
  3. 分布性质：
    线性变换不改变正态分布性质，故 $ Y $ 服从标准正态分布 $ N(0, 1) $。

答案：$\boxed{N(0, 1)}$