6.9 设总体X服从指数分布 (dfrac (1)(lambda )), 其中 lambda gt 0, 抽取样本X1,X2,···,Xn,证-|||-明:-|||-(1)虽然样本均值X是λ的无偏估计量,但X^2却不是λ^2的无偏估计量;-|||-(2)统计量 dfrac (n)(n+1)(overline {X)}^2 是λ^2的无偏估计量.

步骤 1：计算总体X的均值和方差
已知总体 $X\sim e(\dfrac {1}{\lambda })$ ,则总体X的均值与方差分别是 $E(X)=\lambda $ 和 $D(X)={\lambda }^{2}$ 。

步骤 2：计算样本均值的期望
因为样本 ${X}_{i}(i=1,2,\cdots ,n)$ 与总体X服从相同的分布,所以有 $E({X}_{i})=\lambda $ 和 $D({X}_{i})={\lambda }^{2}$ 对于所有的 $i=1,2,...,n$ 。应用关于数学期望的定理得 $E(\overline {X})=E(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i})=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}E({X}_{i})=\dfrac {1}{n}\cdot n\lambda =\lambda $ 。由此可知,样本均值X是λ的无偏估计量。

步骤 3：计算样本均值的方差
注意到样本x1,x2,···,xn是相互独立的,应用关于方差的定理得 $D(X)=D(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{x}_{i})=\dfrac {1}{{n}^{2}}\sum _{i=1}^{n}D({X}_{i})=\dfrac {1}{{n}^{2}}\cdot n{\lambda }^{2}=\dfrac {{\lambda }^{2}}{n}$ 。

步骤 4：计算样本均值平方的期望
于是,按公式(3.18)得 $E({x}^{2})=D(\overline {x})+{[ E(\overline {x})] }^{2}=\dfrac {{\lambda }^{2}}{n}+{\lambda }^{2}\neq {\lambda }^{2}$ 。所以,${\overline {X}}^{2}$ 不是${\lambda }^{2}$ 的无偏估计量。

步骤 5：计算统计量 $\dfrac {n}{n+1}{\overline {X}}^{2}$ 的期望
按公式(3.23)得 $E(\dfrac {n}{n+1}{\overline {X}}^{2})=\dfrac {n}{n+1}E({\overline {X}}^{2})=\dfrac {n}{n+1}(\dfrac {{\lambda }^{2}}{n}+{\lambda }^{2})=\dfrac {n}{n+1}\cdot \dfrac {n+1}{n}{\lambda }^{2}={\lambda }^{2}$ 。所以,统计量 $\dfrac {n}{n+1}{\overline {X}}^{2}$ 是${\lambda }^{2}$ 的无偏估计量。