28 判断 (1分) 若(X,Y)服从二维正态分布N(mu_(1),mu_(2),sigma_(1)^2,sigma_(2)^2,rho)，则X与Y相互独立的充要条件是ρ=0.A. ×B. √

本题考查二维正态分布中随机变量相互独立与相关系数的关系。解题思路是依据二维正态分布的性质，明确随机变量$X$与$Y$相互独立和相关系数$\rho$之间的充要条件。

对于二维正态分布$(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$，其联合概率密度函数为：
$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1 - \rho^{2}}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1 - \rho^{2})}\left[\left(\frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)^{2}-2\rho\left(\frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)\left(\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}}\right)+\left(\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}}\right)^{2}\right]\right\}$
其中$\mu_{1},\mu_{2}$分别是$X$和$Y$的均值，$\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2}$分别是$X$和$Y$的方差，$\rho$是$X$和$Y$的相关系数。

• 充分性证明（$\rho = 0\Rightarrow X$与$Y$相互独立）：
  当$\rho = 0$时，联合概率密度函数$f(x,y)$变为：
  $f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}}\right)^{2}\right]\right\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{1}}\exp\left(-\frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2\sigma_{1}^{2}}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{2}}\exp\left(-\frac{(y - \mu_{2})^{2}}{2\sigma_{2}^{2}}\right)$
  而$X$的边缘概率密度函数$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{1}}\exp\left(-\frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2\sigma_{1}^{2}}\right)$，$Y$的边缘概率密度函数$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{2}}\exp\left(-\frac{(y - \mu_{2})^{2}}{2\sigma_{2}^{2}}\right)$。
  此时$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，根据随机变量相互独立的定义可知$X$与$Y$相互独立。

• 必要性证明（$X$与$Y$相互独立$\Rightarrow\rho = 0$）：
  若$X$与$Y$相互独立，则$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。
  已知$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1 - \rho^{2}}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1 - \rho^{2})}\left[\left(\frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)^{2}-2\rho\left(\frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)\left(\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}}\right)+\left(\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}}\right)^{2}\right]\right\}$，$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{1}}\exp\left(-\frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2\sigma_{1}^{2}}\right)$，$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{2}}\exp\left(-\frac{(y - \mu_{2})^{2}}{2\sigma_{2}^{2}}\right)$。
  通过对比等式两边的表达式，可得$\rho = 0$。

综上，若$(X,Y)$服从二维正态分布$N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$，则$X$与$Y$相互独立的充要条件是$\rho = 0$，该命题正确。