题目

设测量某件物品时的随机误差approx U(-5,5)，求在100次独立重复测量中，测量的随机误差的绝对值大于3的次数超过两次的概率.

设测量某件物品时的随机误差 $X\sim U(-5,5)$ ，求在100次独立重复测量中，测量的随机误差的绝对值大于3的次数超过两次的概率.

题目解答

答案

$X\sim U(-5,5)$ 表示X服从区间 $\left(-5,5\right)$ 上的均匀分布，则X的概率密度函数为 $f\left(x\right)=\frac{1}{5-\left(-5\right)}=\frac{1}{10},\left(-5<x<5\right)$ ，则 $P\left(\left|X\right|>3\right)=1-P\left(\left|X\right|\le3\right)=1-\int_{-3}^3f\left(x\right)dx$ $=1-\int_{-3}^3\frac{1}{10}dx=\frac{2}{5}$ ，

用Y表示100次测量中误差的绝对值大于3的次数，则Y服从参数为 $n=100,p=\frac{2}{5}$ 的二项分布，则Y的分布律为 $P\left(Y=k\right)=C_{100}^k\left(\frac{2}{5}\right)^k\left(1-\frac{2}{5}\right)^{100-k},k=0,1,\cdots,100$ ，则超过两次的概率为 $P\left(Y>2\right)=1-P\left(Y\le2\right)=1-\sum_{k=0}^2P\left(Y=k\right)$ $=1-\sum_{k=0}^2C_{100}^k\left(\frac{2}{5}\right)^k\left(\frac{3}{5}\right)^{100-k}$ .

解析

步骤 1：确定随机误差的概率密度函数
$X\sim U(-5,5)$表示X服从区间(-5,5)上的均匀分布，则X的概率密度函数为$f(x)=\dfrac {1}{5-(-5)}=\dfrac {1}{10}$ $(-5\lt x\lt 5)$。

步骤 2：计算随机误差绝对值大于3的概率
$P(|X|\gt 3)=1-P(|X|\leqslant 3)=1-{\int }_{-3}^{3}f(x)dx$3\right)=1-P\left(\left|X\right|\le3\right)=1-\int_{-3}^3f\left(x\right)dx" data-width="440" data-height="57" data-size="6777" data-format="png" style="max-width:100%">
$=1-{\int }_{-3}^{3}\dfrac {1}{10}dx=\dfrac {2}{5}$。

步骤 3：确定二项分布的参数
用Y表示100次测量中误差的绝对值大于3的次数，则Y服从参数为$z=100$ $p=\dfrac {2}{5}$的二项分布，则Y的分布律为$P(Y=k)={C}_{100}^{k}{(\dfrac {2}{5})}^{k}{(1-\dfrac {2}{5})}^{100-k}$ k=0 1,···,100。

步骤 4：计算超过两次的概率
超过两次的概率为$P(Y\gt 2)=1-P(Y\leqslant 2)=1-\sum _{k=0}^{2}P(Y=k)$2\right)=1-P\left(Y\le2\right)=1-\sum_{k=0}^2P\left(Y=k\right)" data-width="431" data-height="68" data-size="6185" data-format="png" style="max-width:100%">
$-1-\sum _{k=0}^{k}{C}_{100}^{k}{(\dfrac {2}{5})}^{k}{(\dfrac {3}{5})}^{100-k}$.