题目
5.为监测空气质量,某城市环保部门每隔几周即对空气烟尘质量进行一次随机测试。已知该城市过去每-|||-立方米空气中悬浮颗粒的平均值是82微克。在最近一段时间的检测中,每立方米空气中悬浮颗粒的数值(单-|||-位:微克)如下表:-|||-81.6 86.6 80.0 85.8 78.6 58.3 68.7 73.2-|||-96.6 74.9 83.0 66.6 68.6 70.9 71.1 71.6-|||-77.3 76.1 92.2 72.4 61.7 75.6 85.5 72.5-|||-74.0 82.5 87.0 73.2 88.5 86.9 94.9 83.0-|||-根据最近的测量数据,当显著性水平 alpha =0.01 时,能否认为该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过-|||-去的平均值?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定假设
- 原假设 ${H}_{0}:\mu \geqslant 82$ ，即该城市空气中悬浮颗粒的平均值不低于过去的平均值。
- 备择假设 ${H}_{1}:\mu \lt 82$ ，即该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值。
步骤 2：计算样本均值和标准差
- 样本均值 $\overline {x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ ，其中 $n$ 是样本数量，$x_i$ 是每个样本的值。
- 样本标准差 $s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline {x})^2}$ 。
步骤 3：计算检验统计量
- 使用 $Z$ 检验统计量，$Z = \frac{\overline {x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ ，其中 $\mu_0$ 是原假设中的平均值。
- 比较 $Z$ 值与临界值 $-Z_{\alpha}$ ，或计算 $P$ 值并与显著性水平 $\alpha$ 比较。
步骤 4：做出决策
- 如果 $Z \lt -Z_{\alpha}$ 或 $P \lt \alpha$ ，则拒绝原假设，认为该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值。
- 否则，不拒绝原假设。
- 原假设 ${H}_{0}:\mu \geqslant 82$ ，即该城市空气中悬浮颗粒的平均值不低于过去的平均值。
- 备择假设 ${H}_{1}:\mu \lt 82$ ，即该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值。
步骤 2：计算样本均值和标准差
- 样本均值 $\overline {x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ ，其中 $n$ 是样本数量，$x_i$ 是每个样本的值。
- 样本标准差 $s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline {x})^2}$ 。
步骤 3：计算检验统计量
- 使用 $Z$ 检验统计量，$Z = \frac{\overline {x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ ，其中 $\mu_0$ 是原假设中的平均值。
- 比较 $Z$ 值与临界值 $-Z_{\alpha}$ ，或计算 $P$ 值并与显著性水平 $\alpha$ 比较。
步骤 4：做出决策
- 如果 $Z \lt -Z_{\alpha}$ 或 $P \lt \alpha$ ，则拒绝原假设，认为该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值。
- 否则，不拒绝原假设。