6.(简答题)有一大批糖果.现从中随机地取16袋，称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值^μ的置信水平为0.95的置信区间.

考查要点：本题主要考查小样本正态总体均值的置信区间的计算，涉及t分布的应用。

解题核心思路：

1. 判断分布类型：由于总体方差未知且样本量较小（n=16），需使用t分布。
2. 计算样本均值和样本标准差，作为总体参数的估计值。
3. 确定t临界值：根据置信水平0.95和自由度n-1=15，查t分布表。
4. 代入置信区间公式：$\overline{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$。

破题关键点：

• 区分t分布与z分布：小样本且方差未知时必须用t分布。
• 正确计算样本标准差：注意分母为n-1。
• 查表准确：t值的自由度和尾部概率需对应。

1. 计算样本均值

样本均值公式为：
$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$
代入数据计算得：
$\overline{x} = \frac{506 + 508 + 499 + \cdots + 496}{16} = 503.75$

2. 计算样本标准差

样本标准差公式为：
$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}$
计算每个数据与均值的差的平方和为577，代入得：
$s = \sqrt{\frac{577}{15}} \approx 6.2022$

3. 确定t分布临界值

自由度为$n-1=15$，置信水平0.95对应$\alpha=0.05$，查t分布表得：
$t_{0.025}(15) \approx 2.1315$

4. 计算置信区间

置信区间公式为：
$\overline{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$
代入数值：
$503.75 \pm 2.1315 \cdot \frac{6.2022}{4} \approx 503.75 \pm 3.300$
最终置信区间为：
$(503.75 - 3.300, 503.75 + 3.300) \approx (500.4, 507.1)$