设随机变量 X_1, X_2, ldots, X_(100) 相互独立，且服从同一分布 P(X=0)=P(X=1)=(1)/(2)，Phi(x) 表示标准正态分布的分布函数，则由中心极限定理知，P(sum_(i=1)^100 X_i leq 55) 的近似值为（ ）。A. Phi(0.2)B. 1-Phi(0.2)C. 1-Phi(1)D. Phi(1)

本题考查中心极限定理的应用。解题思路是先确定随机变量$X_i$的期望和方差，再根据中心极限定理将$\sum_{i = 1}^{100}X_i$进行标准化，最后利用标准正态分布的分布函数$\varPhi(x)$来计算概率。

步骤一：计算$X_i$的期望$E(X_i)$和方差$D(X_i)$

已知随机变量$X$服从分布$P(X = 0)=P(X = 1)=\frac{1}{2}$，根据期望和方差的定义：

• 期望$E(X)$的计算公式为$E(X)=\sum_{k}x_kP(X = x_k)$，则$E(X_i)=0\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
• 方差$D(X)$的计算公式为$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，先求$E(X_i^2)=0^2\times\frac{1}{2}+1^2\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，所以$D(X_i)=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。

步骤二：根据中心极限定理进行标准化

因为$X_1,X_2,\cdots,X_{100}$相互独立且服从同一分布，由中心极限定理可知，当$n$充分大时（本题$n = 100$），$\sum_{i = 1}^{n}X_i$近似服从正态分布$N(nE(X_i),nD(X_i))$，即$\sum_{i = 1}^{100}X_i$近似服从$N(100\times\frac{1}{2},100\times\frac{1}{4}) = N(50,25)$。
设$Z=\frac{\sum_{i = 1}^{100}X_i - 50}{\sqrt{25}}=\frac{\sum_{i = 1}^{100}X_i - 50}{5}$，则$Z$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。

步骤三：计算$P(\sum_{i = 1}^{100}X_i\leq55)$

对$P(\sum_{i = 1}^{100}X_i\leq55)$进行标准化变换：
$\begin{align*}P(\sum_{i = 1}^{100}X_i\leq55)&=P\left(\frac{\sum_{i = 1}^{100}X_i - 50}{5}\leq\frac{55 - 50}{5}\right)\\&=P\left(Z\leq\frac{5}{5}\right)\\&=P(Z\leq1)\end{align*}$
因为$\varPhi(x)$表示标准正态分布的分布函数，所以$P(Z\leq1)=\varPhi(1)$。