题目
4.填空题总体X在t点概率密度为f(t)=(1)/(2)e^-|t-theta|,theta是未知参数，若已知样本(X_(1),...,X_(5))观察值是(2，-5，3，7，9)，则theta的矩估计值为（），矩估计量为（）
4.填空题
总体X在t点概率密度为$f(t)=\frac{1}{2}e^{-|t-\theta|}$,$\theta$是未知参数，若已知样本$(X_{1},\cdots,X_{5})$观察值是(2，-5，3，7，9)，则$\theta$的矩估计值为（），矩估计量为（）
题目解答
答案
为了找到$\theta$的矩估计值和矩估计量，我们首先需要理解矩估计法。矩估计法涉及将总体的矩（如均值和方差）与样本的矩相等，然后解出未知参数。
给定总体的概率密度函数为：
\[ f(t) = \frac{1}{2} e^{-|t-\theta|}, \]
我们识别出这是以$\theta$为中心的拉普拉斯分布。拉普拉斯分布的均值是$\theta$。因此，总体的均值$\mu$是$\theta$。
矩估计法建议我们使用样本均值作为总体均值的估计。设样本为$X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$。样本均值$\bar{X}$由下式给出：
\[ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5}{5}. \]
由于总体均值$\mu$是$\theta$，我们设$\theta$等于样本均值：
\[ \theta = \bar{X}. \]
现在，我们使用给定的样本观察值$ (2, -5, 3, 7, 9) $来计算样本均值：
\[ \bar{X} = \frac{2 + (-5) + 3 + 7 + 9}{5} = \frac{16}{5} = 3.2. \]
因此，$\theta$的矩估计值为：
\[ \boxed{3.2}. \]
$\theta$的矩估计量为：
\[ \boxed{\bar{X}}. \]
解析
步骤 1：识别总体的概率密度函数
给定的概率密度函数为$f(t)=\frac{1}{2}e^{-|t-\theta|}$，这表明总体服从以$\theta$为中心的拉普拉斯分布。拉普拉斯分布的均值是$\theta$。
步骤 2：计算样本均值
样本观察值为$(2, -5, 3, 7, 9)$。样本均值$\bar{X}$由下式给出： \[ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5}{5}. \] 将给定的样本观察值代入，我们得到： \[ \bar{X} = \frac{2 + (-5) + 3 + 7 + 9}{5} = \frac{16}{5} = 3.2. \]
步骤 3：确定矩估计值和矩估计量
由于总体均值$\mu$是$\theta$，我们设$\theta$等于样本均值$\bar{X}$。因此，$\theta$的矩估计值为$\bar{X}$的值，即3.2。矩估计量为样本均值$\bar{X}$。
给定的概率密度函数为$f(t)=\frac{1}{2}e^{-|t-\theta|}$，这表明总体服从以$\theta$为中心的拉普拉斯分布。拉普拉斯分布的均值是$\theta$。
步骤 2：计算样本均值
样本观察值为$(2, -5, 3, 7, 9)$。样本均值$\bar{X}$由下式给出： \[ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5}{5}. \] 将给定的样本观察值代入，我们得到： \[ \bar{X} = \frac{2 + (-5) + 3 + 7 + 9}{5} = \frac{16}{5} = 3.2. \]
步骤 3：确定矩估计值和矩估计量
由于总体均值$\mu$是$\theta$，我们设$\theta$等于样本均值$\bar{X}$。因此，$\theta$的矩估计值为$\bar{X}$的值，即3.2。矩估计量为样本均值$\bar{X}$。