某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为10.5cm，标准差为0.15m,今从一批产品中随机抽取15段进行测量,其结果如下:10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7假定切割长度服从正态分布,且标准差没有变化,试问该机器工作是否正常。()

步骤 1：建立假设
根据题意，我们需要检验切割机是否正常工作，即检验切割金属棒的平均长度是否为10.5cm。因此，我们建立假设：
${H}_{0}:\mu =10.5$（原假设，切割机工作正常）
${H}_{1}:\mu \neq 10.5$（备择假设，切割机工作不正常）

步骤 2：构造检验统计量
由于已知总体标准差$\sigma =0.15$，且样本量$n=15$，因此，我们使用$z$检验统计量：
$z=\dfrac {\overline {x}-\mu }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\sim N(0,1)$
其中，$\overline {x}$为样本均值，$\mu$为总体均值，$\sigma$为总体标准差，$n$为样本量。

步骤 3：计算样本均值
根据题中所给数据，计算样本均值$\overline {x}$：
$\overline {x}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{15}{x}_{i}=\dfrac {10.4+10.6+10.1+10.4+10.5+10.3+10.3+10.2+10.9+10.6+10.8+10.5+10.7+10.2+10.7}{15}=\dfrac {157.2}{15}=10.48$

步骤 4：计算检验统计量
将$\overline {x}=10.48$，$\mu=10.5$，$\sigma=0.15$，$n=15$代入检验统计量公式，得：
$z=\dfrac {10.48-10.5}{\dfrac {0.15}{\sqrt {15}}}=\dfrac {-0.02}{\dfrac {0.15}{\sqrt {15}}}=\dfrac {-0.02}{0.0387}=-0.5168$

步骤 5：确定拒绝域
根据题意，显著性水平$\alpha=0.1$，因此，拒绝域为$|z|>Z_{\frac{\alpha}{2}}$，其中$Z_{\frac{\alpha}{2}}$为标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位数。

步骤 6：查表得$Z_{\frac{\alpha}{2}}$
查标准正态分布表，得$Z_{0.05}=1.645$。

步骤 7：判断是否接受原假设
由于$|z|=0.5168