题目
4.某保险公司欲对某地区家庭拥有私人汽车的情况进行调查,该地区拥有20万户家-|||-庭,在全体居民中按简单随机抽样方法抽出70户家庭,调查后发现其中8户家庭-|||-拥有私人汽车。-|||-要求:-|||-(1)试估计该地区拥有私人汽车的家庭比例并给出抽样标准误。-|||-(2)在以95%的概率保证程度要求估计的极限误差不超过5%时,计算所需的样-|||-本量。 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：估计拥有私人汽车的家庭比例
根据题目，从70户家庭中，有8户家庭拥有私人汽车。因此，拥有私人汽车的家庭比例为：
\[ p = \frac{8}{70} \]
步骤 2：计算抽样标准误
抽样标准误的计算公式为：
\[ se(p) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]
其中，\( p \) 是样本比例，\( n \) 是样本量。
步骤 3：计算所需的样本量
在95%的概率保证程度下，估计的极限误差不超过5%，即 \( E = 0.05 \)。所需的样本量 \( n \) 可以通过以下公式计算：
\[ n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{p(1-p)}}{E}\right)^2 \]
其中，\( z_{\alpha/2} \) 是标准正态分布的临界值，对于95%的置信水平，\( z_{\alpha/2} = 1.96 \)。
根据题目，从70户家庭中，有8户家庭拥有私人汽车。因此，拥有私人汽车的家庭比例为：
\[ p = \frac{8}{70} \]
步骤 2：计算抽样标准误
抽样标准误的计算公式为：
\[ se(p) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]
其中，\( p \) 是样本比例，\( n \) 是样本量。
步骤 3：计算所需的样本量
在95%的概率保证程度下，估计的极限误差不超过5%，即 \( E = 0.05 \)。所需的样本量 \( n \) 可以通过以下公式计算：
\[ n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{p(1-p)}}{E}\right)^2 \]
其中，\( z_{\alpha/2} \) 是标准正态分布的临界值，对于95%的置信水平，\( z_{\alpha/2} = 1.96 \)。