8.[单选题] lim _(x arrow 0^+) x^tan x=() A e^2 B e C 1 D (1)/(e)

为了求解极限 $\lim_{x \rightarrow 0^+} x^{\tan x}$，我们可以使用对数和洛必达法则。下面是一个逐步的解题过程： 1. 将极限表达式转换为对数形式： 设 $y = x^{\tan x}$。则 $\ln y = \ln (x^{\tan x}) = \tan x \ln x$。因此，我们需要求解 $\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln y = \lim_{x \rightarrow 0^+} \tan x \ln x$。 2. 将 $\tan x$ 转换为 $\frac{\sin x}{\cos x}$： $\lim_{x \rightarrow 0^+} \tan x \ln x = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sin x}{\cos x} \ln x$ 当 $x \rightarrow 0^+$，$\sin x \rightarrow 0$ 和 $\cos x \rightarrow 1$，所以 $\frac{\sin x}{\cos x} \rightarrow 0$。因此，极限可以写成： $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sin x \ln x}{\cos x}$ 由于 $\cos x \rightarrow 1$，我们可以简化为： $\lim_{x \rightarrow 0^+} \sin x \ln x$ 3. 将 $\sin x \ln x$ 转换为 $\frac{\ln x}{\csc x}$： $\lim_{x \rightarrow 0^+} \sin x \ln x = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\csc x}$ 这是一个 $\frac{-\infty}{\infty}$ 的 indeterminate form，可以使用洛必达法则。根据洛必达法则，我们对分子和分母分别求导： $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\csc x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\csc x \cot x}$ 简化 $\csc x$ 和 $\cot x$： $\csc x = \frac{1}{\sin x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ 所以： $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{-\sin^2 x}{x \cos x}$ 4. 再次使用洛必达法则： $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{-\sin^2 x}{x \cos x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{-2 \sin x \cos x}{\cos x - x \sin x}$ 简化 $\sin x$ 和 $\cos x$： $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{-2 \sin x \cos x}{\cos x - x \sin x} = \frac{-2 \cdot 0 \cdot 1}{1 - 0 \cdot 0} = 0$ 5. 将结果转换回原极限： $\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln y = 0 \implies \ln \left( \lim_{x \rightarrow 0^+} y \right) = 0 \implies \lim_{x \rightarrow 0^+} y = e^0 = 1$ 因此，答案是 $\boxed{C}$。