题目

_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)为来自总体X的样本，_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)，判断下面哪个是_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)的无偏估计量（）A._(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)B._(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)C._(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)D._(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)

$X_1,X_2,X_3,X_4$ 为来自总体X的样本， $E(X)=\theta$ ，判断下面哪个是 $\theta$ 的无偏估计量（）

A. $\widehat { \theta _2} = \frac{X_1+2 X_3}{3}$

B. $\widehat { \theta _1} =\frac{ {X_1+X_2+4 X_3} }{3}$

C. $\widehat { \theta _4} =\frac{X_1+X_2+X_3-X_4}{4}$

D. $\widehat { \theta _3} = \frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{3}$

题目解答

答案

来自总体的样本 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 相互独立且都服从总体X的分布，则 $E\left(X_i\right)=E(X)=\theta,i=1,2,3,4$ ，则 $E(\widehat { \theta _2} )=E( \frac{X_1+2 X_3}{3} )=\frac{1}{3}[E(X_1)+2E(X_3)]$ $=\frac{1}{3}(\theta+2\theta)=\theta$ ，则选项A是 $\theta$ 的无偏估计量； $E(\widehat { \theta _1} )=E(\frac{ {X_1+X_2+4 X_3} }{3})=\frac{1}{3}[E(X_1)+E(X_2)+4E(X_3)]$ $=\frac{1}{3}\left(\theta+\theta+4\theta\right)=2\theta\ne\theta$ ，则选项B不是 $\theta$ 的无偏估计量； $E( \widehat { \theta _4}) =E(\frac{X_1+X_2+X_3-X_4}{4})=\frac{1}{4}[E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)-E(X_4)]$ $=\frac{1}{4}\left(\theta+\theta+\theta-\theta\right)=\frac{1}{2}\theta\ne\theta$ ，则选项C不是 $\theta$ 的无偏估计量； $E(\widehat { \theta _3} )=E( \frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{3})=\frac{1}{3}[E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)]$ $=\frac{1}{3}\left(\theta+\theta+\theta+\theta\right)=\frac{4}{3}\theta\ne\theta$ ，则选项D不是 $\theta$ 的无偏估计量，因此选择A。

解析

步骤 1：计算每个选项的期望值
由于X1, X2, X3, X4是来自总体X的样本，且相互独立，因此每个样本的期望值都等于总体的期望值$\theta$。即$E(X_i) = \theta$，其中$i = 1, 2, 3, 4$。

步骤 2：计算选项A的期望值
$E(\hat{\theta}_2) = E\left(\dfrac{X_1 + 2X_3}{3}\right) = \dfrac{1}{3}E(X_1) + \dfrac{2}{3}E(X_3) = \dfrac{1}{3}\theta + \dfrac{2}{3}\theta = \theta$。
因此，选项A是$\theta$的无偏估计量。

步骤 3：计算选项B的期望值
$E(\hat{\theta}_1) = E\left(\dfrac{X_1 + X_2 + 4X_3}{3}\right) = \dfrac{1}{3}E(X_1) + \dfrac{1}{3}E(X_2) + \dfrac{4}{3}E(X_3) = \dfrac{1}{3}\theta + \dfrac{1}{3}\theta + \dfrac{4}{3}\theta = 2\theta$。
因此，选项B不是$\theta$的无偏估计量。

步骤 4：计算选项C的期望值
$E(\hat{\theta}_4) = E\left(\dfrac{X_1 + X_2 + X_3 - X_4}{4}\right) = \dfrac{1}{4}E(X_1) + \dfrac{1}{4}E(X_2) + \dfrac{1}{4}E(X_3) - \dfrac{1}{4}E(X_4) = \dfrac{1}{4}\theta + \dfrac{1}{4}\theta + \dfrac{1}{4}\theta - \dfrac{1}{4}\theta = \dfrac{1}{2}\theta$。
因此，选项C不是$\theta$的无偏估计量。

步骤 5：计算选项D的期望值
$E(\hat{\theta}_3) = E\left(\dfrac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{3}\right) = \dfrac{1}{3}E(X_1) + \dfrac{1}{3}E(X_2) + \dfrac{1}{3}E(X_3) + \dfrac{1}{3}E(X_4) = \dfrac{1}{3}\theta + \dfrac{1}{3}\theta + \dfrac{1}{3}\theta + \dfrac{1}{3}\theta = \dfrac{4}{3}\theta$。
因此，选项D不是$\theta$的无偏估计量。