题目
4、欲测量两地之间的距离，限于测量工具，将其分成1200段进行测量。设每段测量误差(单位：千米)相互独立，且均服从区间(-0.5,0.5)上的均匀分布。试求总距离测量误差的绝对值不超过20千米的概率。(用中心极限定理)
4、欲测量两地之间的距离，限于测量工具，将其分成1200段进行测量。设每段测量误差(单位：千米)相互独立，且均服从区间(-0.5,0.5)上的均匀分布。试求总距离测量误差的绝对值不超过20千米的概率。(用中心极限定理)
题目解答
答案
设每段测量误差 $X_i$ 服从区间 $(-0.5, 0.5)$ 上的均匀分布，总误差 $X = \sum_{i=1}^{1200} X_i$。
计算得：
\[ E(X_i) = 0, \quad D(X_i) = \frac{1}{12} \]
总期望与方差：
\[ E(X) = 0, \quad D(X) = 1200 \times \frac{1}{12} = 100 \]
由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(0, 100)$。
标准化得：
\[ P(|X| \leq 20) = P\left(-2 \leq \frac{X}{10} \leq 2\right) \]
查标准正态分布表：
\[ P(Z \leq 2) \approx 0.9772, \quad P(Z \leq -2) \approx 0.0228 \]
\[ P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 0.9772 - 0.0228 = 0.9544 \]
**答案：**
\[
\boxed{0.9544}
\]
解析
步骤 1：定义每段测量误差
设每段测量误差 $X_i$ 服从区间 $(-0.5, 0.5)$ 上的均匀分布，总误差 $X = \sum_{i=1}^{1200} X_i$。
步骤 2：计算每段测量误差的期望和方差
由于 $X_i$ 服从区间 $(-0.5, 0.5)$ 上的均匀分布，其期望和方差分别为：
\[ E(X_i) = 0, \quad D(X_i) = \frac{(0.5 - (-0.5))^2}{12} = \frac{1}{12} \]
步骤 3：计算总误差的期望和方差
总误差 $X$ 的期望和方差分别为：
\[ E(X) = \sum_{i=1}^{1200} E(X_i) = 0 \]
\[ D(X) = \sum_{i=1}^{1200} D(X_i) = 1200 \times \frac{1}{12} = 100 \]
步骤 4：应用中心极限定理
由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(0, 100)$。标准化得：
\[ P(|X| \leq 20) = P\left(-2 \leq \frac{X}{10} \leq 2\right) \]
步骤 5：查标准正态分布表
查标准正态分布表得：
\[ P(Z \leq 2) \approx 0.9772, \quad P(Z \leq -2) \approx 0.0228 \]
\[ P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 0.9772 - 0.0228 = 0.9544 \]
设每段测量误差 $X_i$ 服从区间 $(-0.5, 0.5)$ 上的均匀分布，总误差 $X = \sum_{i=1}^{1200} X_i$。
步骤 2：计算每段测量误差的期望和方差
由于 $X_i$ 服从区间 $(-0.5, 0.5)$ 上的均匀分布，其期望和方差分别为：
\[ E(X_i) = 0, \quad D(X_i) = \frac{(0.5 - (-0.5))^2}{12} = \frac{1}{12} \]
步骤 3：计算总误差的期望和方差
总误差 $X$ 的期望和方差分别为：
\[ E(X) = \sum_{i=1}^{1200} E(X_i) = 0 \]
\[ D(X) = \sum_{i=1}^{1200} D(X_i) = 1200 \times \frac{1}{12} = 100 \]
步骤 4：应用中心极限定理
由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(0, 100)$。标准化得：
\[ P(|X| \leq 20) = P\left(-2 \leq \frac{X}{10} \leq 2\right) \]
步骤 5：查标准正态分布表
查标准正态分布表得：
\[ P(Z \leq 2) \approx 0.9772, \quad P(Z \leq -2) \approx 0.0228 \]
\[ P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 0.9772 - 0.0228 = 0.9544 \]