题目

若事件A、B适合P(AB)=0，则以下说法正确的是（）. (A）A与B互斥（互不相容）； (B）P(A.)=0或P(B.)=0； (C.）A与B同时出现是不可能事件； (D.）P(A)>0，则P(B|A)=0.

若事件A、B适合P(AB)=0，则以下说法正确的是（）. (A）A与B互斥（互不相容）； (B）P(
A.)=0或P(
B.)=0； (
C.）A与B同时出现是不可能事件； (
D.）P(A)>0，则$P(B|A)=0$.

题目解答

答案

已知 $P(AB) = 0$，分析选项： - **选项A**：$A$ 与 $B$ 互斥（互不相容），即 $A \cap B = \emptyset$，但概率为0的事件不一定是空集，排除。 - **选项B**：$P(A) = 0$ 或 $P(B) = 0$，但两事件概率均非零时，交集概率仍可能为0（如连续分布中不重叠区间），排除。 - **选项C**：同时出现为不可能事件，即 $A \cap B = \emptyset$，但概率为0的事件不一定是不可能事件（如连续分布中单点），排除。 - **选项D**：由条件概率公式 $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$，当 $P(AB) = 0$ 且 $P(A) > 0$ 时，$P(B|A) = 0$，成立。 **答案：** $\boxed{D}$

解析

本题主要考察概率中事件关系及条件概率的基本概念，需区分“概率为0的事件”与“不可能事件”、“互斥事件”的差异，并结合条件概率公式分析选项。

选项A分析

互斥事件（互不相容）的定义是$A \cap B = \emptyset$，即两事件不能同时发生。但$P(AB)=0$仅表示“$A$与$B$同时发生的概率为0”，并不等价于“$A$与$B$不能同时发生”。例如，在连续型随机变量中，取单点的概率为0，但单点事件并非空集，因此$P(AB)=0$时$A\cap B$可能非空，选项A错误。

选项B分析

$P(A)=0$或$P(B)=0$是$P(AB)=0$的充分条件，但非必要条件。例如，在区间$[0,1]$上均匀分布中，$A=[0,0.5]$、$B=[0.5,1]$，则$P(A)=P(B)=0.5$（均非0），但$AB=\{0.5\}$（单点），$P(AB)=0$，选项B错误。

选项C分析

“$A$与$B$同时出现是不可能事件”即$A\cap B=\emptyset$，但如前所述，概率为0的事件不一定是不可能事件（如连续分布中的单点），因此$P(AB)=0$不能推出$A\cap B=\emptyset$，选项C错误。

选项D分析

条件概率公式为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$。当$P(AB)=0$且$P(A)>0$时，代入得$P(B|A)=0$，选项D正确。