题目

设 5 times 6 矩阵 A 的秩 R(A) = 3，则 6 元线性方程组 Avec(x) = vec(0) 的解集 S 的秩 R_S = ____

设 $5 \times 6$ 矩阵 $A$ 的秩 $R(A) = 3$，则 6 元线性方程组 $A\vec{x} = \vec{0}$ 的解集 $S$ 的秩 $R_S = \_\_\_\_$

题目解答

答案

根据题意，矩阵 $ A $ 是一个 $ 5 \times 6 $ 矩阵，秩 $ R(A) = 3 $。对于齐次线性方程组 $ A\vec{x} = \vec{0} $，其解集 $ S $ 的秩 $ R_S $ 等于解空间的维数，即 $ n - R(A) $，其中 $ n $ 是未知数的个数。 这里，$ n = 6 $，$ R(A) = 3 $，因此： \[ R_S = n - R(A) = 6 - 3 = 3 \] 所以，解集 $ S $ 的秩为 $ 3 $。 答案：3

解析

本题考查齐次线性方程组解空间的秩与系数矩阵秩的关系。解题思路是利用齐次线性方程组解空间的维数定理，即对于齐次线性方程组 $A\vec{x} = \vec{0}$，其解空间的维数（也就是解集 $S$ 的秩 $R_S$）等于未知数的个数 $n$ 减去系数矩阵 $A$ 的秩 $R(A)$。

  1. 首先明确题目中的已知条件：
    • 已知矩阵 $A$ 是一个 $5\times6$ 矩阵，这表明该矩阵有 $5$ 行 $6$ 列。
    • 对于 $6$ 元线性方程组 $A\vec{x}=\vec{0}$，未知数的个数 $n = 6$。
    • 又已知矩阵 $A$ 的秩 $R(A)=3$。
  2. 然后根据齐次线性方程组解空间的维数定理：
    • 对于齐次线性方程组 $A\vec{x}=\vec{0}$，其解集 $S$ 的秩 $R_S$ 满足公式 $R_S=n - R(A)$。
    • 将 $n = 6$，$R(A)=3$ 代入公式，可得 $R_S=6 - 3$。
    • 计算 $6 - 3=3$。