设 eta_n sim b(n, p) (0 A. Phi((n varepsilon)/(sqrt(np(1-p))))B. Phi((varepsilon)/(sqrt(np(1-p))))C. 2Phi((varepsilon)/(sqrt(np(1-p)))) - 1D. 2Phi(varepsilon sqrt((n)/(p(1-p)))) - 1

本题考查二项分布的正态近似这一知识点。解题思路是先明确二项分布的期望和方差，再利用中心极限定理将二项分布近似为正态分布，最后对给定的概率进行标准化变换并化简。

1. 首先，对于二项分布$\eta_n \sim b(n, p)$，根据二项分布的性质可知其期望$E(\eta_n)=np$，方差$D(\eta_n)=np(1 - p)$。
2. 然后，由中心极限定理可知，当$n$充分大时，二项分布$\eta_n$近似服从正态分布$N(np, np(1 - p))$，即$\frac{\eta_n - np}{\sqrt{np(1 - p)}}$近似服从标准正态分布$N(0, 1)$。
3. 接着，对概率$P\{|\eta_n - np| < \varepsilon\}$进行变形：
   • 根据绝对值不等式的性质，$P\{|\eta_n - np| < \varepsilon\}=P\{-\varepsilon < \eta_n - np < \varepsilon\}$。
   • 为了将其转化为标准正态分布的形式，对不等式两边同时除以$\sqrt{np(1 - p)}$，得到$P\left\{-\frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}} < \frac{\eta_n - np}{\sqrt{np(1 - p)}} < \frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}}\right\}$。
   • 令$Z = \frac{\eta_n - np}{\sqrt{np(1 - p)}}$，$Z$近似服从标准正态分布$N(0, 1)$，则上式可写为$P\left\{-\frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}} < Z < \frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}}\right\}$。
4. 最后，根据标准正态分布的性质进行计算：
   • 标准正态分布的分布函数为$\varPhi(z)$，则$P\left\{-\frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}} < Z < \frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}}\right\}=\varPhi\left(\frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}}\right)-\varPhi\left(-\frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}}\right)$。
   • 又因为标准正态分布关于$y$轴对称，所以$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，则$\varPhi\left(-\frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}}\right)=1 - \varPhi\left(\frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}}\right)$。
   • 将其代入上式可得：$\varPhi\left(\frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}}\right)-\left(1 - \varPhi\left(\frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}}\right)\right)=2\varPhi\left(\frac{\varepsilon}{\sqrt{np(1 - p)}}\right)-1$。