题目
按规定,每100g的罐头,番茄汁中VC的含量不得少于21mg,现从某厂生产的一批罐头中抽取17个,得VC含量(单位:mg)为16,22,21,20,23,21,19,15,13,23,17,20,29,18,22,16,25,已知VC的含量服从正态分布,试以0.025的检验水平检验该批罐头的VC的含量是否合格(其中_(0.025)(16)=2.12)。
按规定,每100g的罐头,番茄汁中VC的含量不得少于21mg,现从某厂生产的一批罐头中抽取17个,得VC含量(单位:mg)为16,22,21,20,23,21,19,15,13,23,17,20,29,18,22,16,25,已知VC的含量服从正态分布,试以0.025的检验水平检验该批罐头的VC的含量是否合格(其中
)。
题目解答
答案
解 由题设
,本的观测值算得
,由
,自由度为17-1,
,
故接受原假设
,即可认为该 批罐头的VC含量是合格的。
解析
步骤 1：确定假设
根据题目要求，我们需要检验该批罐头的VC含量是否合格。因此，我们设定原假设${H}_{0}:\mu \geqslant 21$，备择假设${H}_{1}:\mu < 21$，其中$\mu$表示罐头中VC的平均含量。
步骤 2：计算样本均值和样本方差
根据题目给出的数据，我们首先计算样本均值$\overline {X}$和样本方差${S}^{2}$。
$\overline {X}=\dfrac {1}{17}\times (16+22+21+20+23+21+19+15+13+23+17+20+29+18+22+16+25)=\dfrac {1}{17}\times 340=20$。
${S}^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{17}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}=\dfrac {1}{16}\times (16-20)^{2}+(22-20)^{2}+...+(25-20)^{2}={3.87}^{2}$。
步骤 3：计算t统计量
根据样本均值和样本方差，我们计算t统计量。
$t=\dfrac {\overline {X}-{\mu }_{0}}{\sqrt {{S}^{2}/n}}=\dfrac {20-21}{3.87}\sqrt {17}=-1.065$。
步骤 4：比较t统计量与临界值
根据题目给出的检验水平$\alpha =0.025$和自由度$n-1=16$，我们得到临界值$t_{0.025}(16)=2.12$。由于$t=-1.065\gt -2.12=-t_{0.025}(16)$，我们接受原假设${H}_{0}$，即认为该批罐头的VC含量是合格的。
根据题目要求，我们需要检验该批罐头的VC含量是否合格。因此，我们设定原假设${H}_{0}:\mu \geqslant 21$，备择假设${H}_{1}:\mu < 21$，其中$\mu$表示罐头中VC的平均含量。
步骤 2：计算样本均值和样本方差
根据题目给出的数据，我们首先计算样本均值$\overline {X}$和样本方差${S}^{2}$。
$\overline {X}=\dfrac {1}{17}\times (16+22+21+20+23+21+19+15+13+23+17+20+29+18+22+16+25)=\dfrac {1}{17}\times 340=20$。
${S}^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{17}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}=\dfrac {1}{16}\times (16-20)^{2}+(22-20)^{2}+...+(25-20)^{2}={3.87}^{2}$。
步骤 3：计算t统计量
根据样本均值和样本方差，我们计算t统计量。
$t=\dfrac {\overline {X}-{\mu }_{0}}{\sqrt {{S}^{2}/n}}=\dfrac {20-21}{3.87}\sqrt {17}=-1.065$。
步骤 4：比较t统计量与临界值
根据题目给出的检验水平$\alpha =0.025$和自由度$n-1=16$，我们得到临界值$t_{0.025}(16)=2.12$。由于$t=-1.065\gt -2.12=-t_{0.025}(16)$，我们接受原假设${H}_{0}$，即认为该批罐头的VC含量是合格的。